MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem5 9217
Description: Lemma for isfin3-2 9227. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
Assertion
Ref Expression
isf32lem5 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
2 isf32lem.b . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
3 isf32lem.c . . . 4 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
41, 2, 3isf32lem2 9214 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ω) → ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
54ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
6 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
7 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ⊆ ω
86, 7eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
9 nnunifi 8252 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
108, 9mpan 706 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ω)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
12 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 𝑆)
13 nnon 7113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ω → 𝑏 ∈ On)
14 omsson 7111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ω ⊆ On
1514, 11sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ On)
16 ontri1 5795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑆 ∈ On) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1713, 15, 16syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑏))
1812, 17syl5ib 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝑏𝑆 → ¬ 𝑆𝑏))
1918con2d 129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ 𝑏𝑆))
2019impr 648 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏𝑆)
216eleq2i 2722 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑆𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
2220, 21sylnib 317 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ 𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)})
23 suceq 5828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → suc 𝑦 = suc 𝑏)
2423fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc 𝑏))
25 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2624, 25psseq12d 3734 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2726elrab3 3397 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ω → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2827ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → (𝑏 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ↔ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
2922, 28mtbid 313 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑆𝑏)) → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))
3029expr 642 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
31 imnan 437 . . . . . . 7 (( 𝑆𝑏 → ¬ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3230, 31sylib 208 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ¬ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3332nrexdv 3030 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
34 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑆 → (𝑎𝑏 𝑆𝑏))
3534anbi1d 741 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑆 → ((𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3635rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3736notbid 307 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑆 → (¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
3837rspcev 3340 . . . . 5 (( 𝑆 ∈ ω ∧ ¬ ∃𝑏 ∈ ω ( 𝑆𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
3911, 33, 38syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
40 rexnal 3024 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ω ¬ ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4139, 40sylib 208 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏)))
4241ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin → ¬ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑏 ∈ ω (𝑎𝑏 ∧ (𝐹‘suc 𝑏) ⊊ (𝐹𝑏))))
435, 42mt2d 131 1 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  wpss 3608  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   cint 4507  ran crn 5144  Oncon0 5761  suc csuc 5763  wf 5922  cfv 5926  ωcom 7107  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001
This theorem is referenced by:  isf32lem6  9218  isf32lem7  9219  isf32lem8  9220
  Copyright terms: Public domain W3C validator