MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem7 9125
Description: Lemma for isfin3-2 9133. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . . 5 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6149 . . . 4 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
4 ssrab2 3666 . . . . . . . . . 10 {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ⊆ ω
53, 4eqsstri 3614 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ω
6 isf32lem.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
8 isf32lem.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8, 3isf32lem5 9123 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
10 isf32lem.e . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
1110fin23lem22 9093 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
125, 9, 11sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
13 f1of 6094 . . . . . . . 8 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
15 fvco3 6232 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1614, 15sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1716ad2ant2r 782 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1814adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
20 ffvelrn 6313 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
2118, 19, 20syl2an 494 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
22 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
23 suceq 5749 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
2423fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2522, 24difeq12d 3707 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
26 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
27 fvex 6158 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
28 difexg 4768 . . . . . . . 8 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
3025, 26, 29fvmpt 6239 . . . . . 6 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3121, 30syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3217, 31eqtrd 2655 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
332, 32syl5eq 2667 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
341fveq1i 6149 . . . 4 (𝐾𝐵) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
35 fvco3 6232 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐵 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
3614, 35sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
3736ad2ant2rl 784 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)))
38 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
39 ffvelrn 6313 . . . . . . 7 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐵 ∈ ω) → (𝐽𝐵) ∈ 𝑆)
4018, 38, 39syl2an 494 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐵) ∈ 𝑆)
41 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐵) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐵)))
42 suceq 5749 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐽𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐵))
4342fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))
4441, 43difeq12d 3707 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐵) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
45 fvex 6158 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝐽𝐵)) ∈ V
46 difexg 4768 . . . . . . . 8 ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∈ V → ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))) ∈ V)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))) ∈ V
4844, 26, 47fvmpt 6239 . . . . . 6 ((𝐽𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
4940, 48syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
5037, 49eqtrd 2655 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
5134, 50syl5eq 2667 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾𝐵) = ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵))))
5233, 51ineq12d 3793 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))))
53 simpll 789 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
54 simplr 791 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴𝐵)
55 f1of1 6093 . . . . . . . . 9 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω–1-1𝑆)
5612, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽:ω–1-1𝑆)
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐽:ω–1-1𝑆)
58 f1fveq 6473 . . . . . . 7 ((𝐽:ω–1-1𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5957, 58sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6059biimpd 219 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽𝐴) = (𝐽𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
6160necon3d 2811 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴𝐵 → (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵)))
6254, 61mpd 15 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵))
635, 21sseldi 3581 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐴) ∈ ω)
645, 40sseldi 3581 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽𝐵) ∈ ω)
656, 7, 8isf32lem4 9122 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐽𝐴) ≠ (𝐽𝐵)) ∧ ((𝐽𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))) = ∅)
6653, 62, 63, 64, 65syl22anc 1324 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐵)))) = ∅)
6752, 66eqtrd 2655 1 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾𝐴) ∩ (𝐾𝐵)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  wpss 3556  c0 3891  𝒫 cpw 4130   cint 4440   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  ccom 5078  suc csuc 5684  wf 5843  1-1wf1 5844  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  crio 6564  ωcom 7012  cen 7896  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709
This theorem is referenced by:  isf32lem9  9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator