MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem5 9197
Description: Lemma for isfin3-4 9201. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 5475 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ⊆ ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem2 9192 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
5 frn 6051 . . . . . . . 8 (𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴 → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
71, 6syl5ss 3612 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴)
8 simprl 794 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
9 fdm 6049 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴 → dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
104, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
118, 10sseqtr4d 3640 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ dom 𝐹)
12 sseqin2 3815 . . . . . . . . 9 (𝑋 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
1311, 12sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
14 simprr 796 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
1513, 14eqnetrd 2860 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
16 imadisj 5482 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑋) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) = ∅)
1716necon3bii 2845 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
1815, 17sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
197, 18jca 554 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅))
202isf34lem4 9196 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
2119, 20syldan 487 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
222isf34lem3 9194 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2322adantrr 753 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2423inteqd 4478 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2521, 24eqtrd 2655 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2625fveq2d 6193 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹 𝑋))
272compsscnv 9190 . . . 4 𝐹 = 𝐹
2827fveq1i 6190 . . 3 (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋)))
292compssiso 9193 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
30 isof1o 6570 . . . . . 6 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
3231adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
33 sspwuni 4609 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
347, 33sylib 208 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
35 elpw2g 4825 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3635adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3734, 36mpbird 247 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
38 f1ocnvfv1 6529 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3932, 37, 38syl2anc 693 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
4028, 39syl5eqr 2669 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
4126, 40eqtr3d 2657 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  cdif 3569  cin 3571  wss 3572  c0 3913  𝒫 cpw 4156   cuni 4434   cint 4473  cmpt 4727  ccnv 5111  dom cdm 5112  ran crn 5113  cima 5115  wf 5882  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886   Isom wiso 5887   [] crpss 6933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-rpss 6934
This theorem is referenced by:  isf34lem7  9198
  Copyright terms: Public domain W3C validator