MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas 21543
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." Note that some authors require filter bases to be closed under pairwise intersections, but that is not necessary under our definition. One advantage of this definition is that tails in a directed set form a filter base under our meaning. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isfbas
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4810 . . . . 5 (𝐵𝐴 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
2 elpw2g 4787 . . . . 5 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵))
43anbi1d 740 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
5 elex 3198 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
65biantrurd 529 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))))
74, 6bitr3d 270 . 2 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))))
8 df-fbas 19662 . . . 4 fBas = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝒫 𝒫 𝑧 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)})
9 neeq1 2852 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
10 neleq2 2899 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (∅ ∉ 𝑤 ↔ ∅ ∉ 𝐹))
11 ineq1 3785 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝐹 → (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
1211neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐹 → ((𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
1312raleqbi1dv 3135 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐹 → (∀𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
1413raleqbi1dv 3135 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
159, 10, 143anbi123d 1396 . . . . 5 (𝑤 = 𝐹 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
1615adantl 482 . . . 4 ((𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐹) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
17 pweq 4133 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝐵)
1817pweqd 4135 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → 𝒫 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝒫 𝐵)
19 vpwex 4809 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
2019pwex 4808 . . . . 5 𝒫 𝒫 𝑧 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝑧 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑧 ∈ V)
228, 16, 18, 21elmptrab 21540 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
23 3anass 1040 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2422, 23bitri 264 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
257, 24syl6rbbr 279 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  wral 2907  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  cfv 5847  fBascfbas 19653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-fbas 19662
This theorem is referenced by:  fbasne0  21544  0nelfb  21545  fbsspw  21546  isfbas2  21549  trfbas2  21557  fbasweak  21579  zfbas  21610  tsmsfbas  21841  ustfilxp  21926  minveclem3b  23107
  Copyright terms: Public domain W3C validator