MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas2 22371
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 22365 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2 elin 4166 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)))
3 velpw 4543 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
43anbi2i 622 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
52, 4bitri 276 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
65exbii 1839 . . . . . 6 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
7 n0 4307 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8 df-rex 3141 . . . . . 6 (∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
96, 7, 83bitr4i 304 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
1092ralbii 3163 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
11103anbi3i 1151 . . 3 ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211anbi2i 622 . 2 ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))))
131, 12syl6bb 288 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wnel 3120  wral 3135  wrex 3136  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  cfv 6348  fBascfbas 20461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-fbas 20470
This theorem is referenced by:  fbasssin  22372  fbun  22376  opnfbas  22378  isfil2  22392  fsubbas  22403  fbasrn  22420  rnelfmlem  22488  metustfbas  23094  tailfb  33622
  Copyright terms: Public domain W3C validator