Theorem isfin1-3 9811

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		porpss 7456	. . . 4 ⊢ [⊊] Po 𝒫 𝐴
2		cnvpo 6141	. . . 4 ⊢ ( [⊊] Po 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴)
3	1, 2	mpbi 232	. . 3 ⊢ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴
4		pwfi 8822	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	4	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		frfi 8766	. . 3 ⊢ ((◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
7	3, 5, 6	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
8		inss2 4209	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9		pwexg 5282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10		ssexg 5230	. . . . . 6 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12		0fin 8749	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
13		0elpw 5259	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
14	12, 13	elini 4173	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
15	14	ne0ii 4306	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16		fri 5520	. . . . . 6 ⊢ ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
17	8, 15, 16	mpanr12 703	. . . . 5 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
18	11, 17	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
19	18	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏))
20		elinel1 4175	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21		ralnex 3239	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
22	20	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23		snfi 8597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑑} ∈ Fin
24		unfi 8788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
25	22, 23, 24	sylancl 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26		elinel2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
27	26	elpwid 4553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
28	27	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
29		snssi 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
30	29	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
31	28, 30	unssd 4165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
33		snex 5335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑑} ∈ V
34	32, 33	unex 7472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
35	34	elpw 4546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
36	31, 35	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
37	25, 36	elind 4174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38		disjsn 4650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)
39	38	biimpri 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40		vex 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑑 ∈ V
41	40	snnz 4714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑑} ≠ ∅
42		disjpss 4413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
43	39, 41, 42	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
44	43	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
45	34, 32	brcnv 5756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}))
46	34	brrpss 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
47	45, 46	bitri 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
48	44, 47	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏)
49		breq1 5072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏))
50	49	rspcev 3626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
51	37, 48, 50	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
52	51	expr 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏))
53	52	con1d 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
54	21, 53	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
55	54	impancom 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑 ∈ 𝑏))
56	55	ssrdv 3976	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ⊆ 𝑏)
57		ssfi 8741	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
58	20, 56, 57	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
59	58	rexlimiva 3284	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝐴 ∈ Fin)
60	19, 59	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
61	7, 60	impbid2 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939   ⊊ wpss 3940  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4542  {csn 4570   class class class wbr 5069   Po wpo 5475   Fr wfr 5514  ^◡ccnv 5557   [⊊] crpss 7451  Fincfn 8512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-rpss 7452  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516

This theorem is referenced by:  isfin1-4  9812  fin12  9838