Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin1-4 9169
 Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a minimal subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-4 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin1-3 9168 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
2 eqid 2621 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32compssiso 9156 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥)) Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
4 isofr 6557 . . 3 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥)) Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → ( [] Fr 𝒫 𝐴 [] Fr 𝒫 𝐴))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ( [] Fr 𝒫 𝐴 [] Fr 𝒫 𝐴))
61, 5bitr4d 271 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3557  𝒫 cpw 4136   ↦ cmpt 4683   Fr wfr 5040  ◡ccnv 5083   Isom wiso 5858   [⊊] crpss 6901  Fincfn 7915 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-rpss 6902  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator