MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin4-2 9080
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem isfin4-2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin4 9063 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴)))
2 infpssr 9074 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → ω ≼ 𝐴)
32exlimiv 1855 . . . 4 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ω ≼ 𝐴)
4 infpss 8983 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
53, 4impbii 199 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ω ≼ 𝐴)
65notbii 310 . 2 (¬ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ¬ ω ≼ 𝐴)
71, 6syl6bb 276 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wpss 3556   class class class wbr 4613  ωcom 7012  cen 7896  cdom 7897  FinIVcfin4 9046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fin4 9053
This theorem is referenced by:  isfin4-3  9081  fin23lem41  9118  isfin32i  9131  isfin1-2  9151  fin34  9156  fin41  9210  gchinf  9423
  Copyright terms: Public domain W3C validator