MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin5-2 9326
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2900 . . . . 5 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
21bicomi 214 . . . 4 (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
32a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4 cdadom3 9123 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
54anidms 680 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
6 brsdom 8095 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
76baib 982 . . . 4 (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
85, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
93, 8orbi12d 748 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
10 isfin5 9234 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
11 ianor 510 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
129, 10, 113bitr4g 303 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  c0 4023   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cen 8069  cdom 8070  csdm 8071   +𝑐 ccda 9102  FinVcfin5 9217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-cda 9103  df-fin5 9224
This theorem is referenced by:  fin45  9327
  Copyright terms: Public domain W3C validator