Theorem isfinite2 8768

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8508	. . 3 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5602	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3		sdomdom 8529	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4		domeng 8515	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
5	3, 4	syl5ib 246	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)))
6		ensym 8550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝐴)
7	6	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≈ 𝐴)
8		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9		ensdomtr 8645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
10	7, 8, 9	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11		sdomnen 8530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14		unbnn 8766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15	14	3expia 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
16	2, 13, 15	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ≈ ω))
17	12, 16	mtod 200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
18		rexnal 3236	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
19		omsson 7576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ⊆ On
20		sstr 3973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
21	19, 20	mpan2 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22		nnord 7580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23		ssel2 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24		vex 3496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑤 ∈ V
25	24	elon 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
26	23, 25	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → Ord 𝑤)
27		ordtri1 6217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
28	26, 27	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
29	28	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
30	29	ralbidva 3194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤))
31		unissb 4861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 𝑤 ⊆ 𝑧)
32		ralnex 3234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
33	32	bicomi 226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑦 ¬ 𝑧 ∈ 𝑤)
34	30, 31, 33	3bitr4g 316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤))
35		ordunisssuc 6286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∪ 𝑦 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
36	34, 35	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
37	21, 22, 36	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38		peano2b 7588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39		ssnnfi 8729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
40	38, 39	sylanb 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
41	40	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
42	41	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧 → 𝑦 ∈ Fin))
43	37, 42	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
44	43	rexlimdva 3282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
45	18, 44	syl5bir 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
46	45	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑦 ∈ Fin))
47	17, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≈ 𝑦)
49		enfii 8727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
50	47, 48, 49	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
51	50	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
52	51	exlimdv 1928	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
53	5, 52	sylcom 30	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
54	2, 53	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∃wex 1774   ∈ wcel 2108  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057  Ord word 6183  Oncon0 6184  suc csuc 6186  ωcom 7572   ≈ cen 8498   ≼ cdom 8499   ≺ csdm 8500  Fincfn 8501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505

This theorem is referenced by:  isfiniteg  8770  unfi2  8779  unifi2  8806  axcclem  9871  dirith2  26096  padct  30447  volmeas  31483  axccdom  41476  axccd2  41485