MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isgrpix 17365
Description: Properties that determine a group. Read 𝑁 as 𝑁(𝑥). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a 𝐵 ∈ V
isgrpix.b + ∈ V
isgrpix.g 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
isgrpix.2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
isgrpix.3 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
isgrpix.z 0𝐵
isgrpix.5 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
isgrpix.6 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
isgrpix.7 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
Assertion
Ref Expression
isgrpix 𝐺 ∈ Grp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑦,𝑁   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3 𝐵 ∈ V
2 isgrpix.b . . 3 + ∈ V
3 isgrpix.g . . 3 𝐺 = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, + ⟩}
41, 2, 3grpbasex 15910 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
51, 2, 3grpplusgx 15911 . 2 + = (+g𝐺)
6 isgrpix.2 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7 isgrpix.3 . 2 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8 isgrpix.z . 2 0𝐵
9 isgrpix.5 . 2 (𝑥𝐵 → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
10 isgrpix.6 . 2 (𝑥𝐵𝑁𝐵)
11 isgrpix.7 . 2 (𝑥𝐵 → (𝑁 + 𝑥) = 0 )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 17361 1 𝐺 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  {cpr 4155  cop 4159  (class class class)co 6605  1c1 9882  2c2 11015  Grpcgrp 17338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341
This theorem is referenced by:  cnaddablx  18187  zaddablx  18191
  Copyright terms: Public domain W3C validator