MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinag 25629
Description: Property for point 𝑋 to lie in the angle ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ Defnition 11.23 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
isinag.g (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
isinag (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem isinag
Dummy variables 𝑝 𝑡 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → 𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
21fveq1d 6150 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑡‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
31fveq1d 6150 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑡‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
42, 3neeq12d 2851 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
51fveq1d 6150 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑡‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
65, 3neeq12d 2851 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
7 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → 𝑝 = 𝑋)
87, 3neeq12d 2851 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑝 ≠ (𝑡‘1) ↔ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
94, 6, 83anbi123d 1396 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))))
10 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
112, 5oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
1210, 11eleq12d 2692 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ↔ 𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
1310, 3eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑥 = (𝑡‘1) ↔ 𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
143fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝐾‘(𝑡‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1510, 14, 7breq123d 4627 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))
1613, 15orbi12d 745 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝) ↔ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))
1712, 16anbi12d 746 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))))
1817rexbidv 3045 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))))
199, 18anbi12d 746 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))))
20 eqid 2621 . . . . 5 {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))} = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}
2119, 20brab2a 5129 . . . 4 (𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))))
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))))))
23 biidd 252 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ↔ (𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))))
24 isinag.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
25 s3fv0 13572 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
27 isinag.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
28 s3fv1 13573 . . . . . . . 8 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
3026, 29neeq12d 2851 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝐴𝐵))
31 isinag.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑃)
32 s3fv2 13574 . . . . . . . 8 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3433, 29neeq12d 2851 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝐶𝐵))
3529neeq2d 2850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝑋𝐵))
3630, 34, 353anbi123d 1396 . . . . 5 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ↔ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵)))
3726, 33oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = (𝐴𝐼𝐶))
3837eleq2d 2684 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3929eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝑥 = 𝐵))
4029fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) = (𝐾𝐵))
4140breqd 4624 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋𝑥(𝐾𝐵)𝑋))
4239, 41orbi12d 745 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋) ↔ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
4338, 42anbi12d 746 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
4443rexbidv 3045 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
4536, 44anbi12d 746 . . . 4 (𝜑 → ((((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))) ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
4623, 45anbi12d 746 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))) ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))))
4722, 46bitrd 268 . 2 (𝜑 → (𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))))
48 isinag.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
49 elex 3198 . . . 4 (𝐺𝑉𝐺 ∈ V)
50 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
51 isinag.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘𝐺)
5250, 51syl6eqr 2673 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
5352eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑝𝑃))
5452oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) = (𝑃𝑚 (0..^3)))
5554eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ↔ 𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
5653, 55anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ↔ (𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))))
57 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = (Itv‘𝐺))
58 isinag.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5957, 58syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = 𝐼)
6059oveqd 6621 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) = ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)))
6160eleq2d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2))))
62 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝐺 → (hlG‘𝑔) = (hlG‘𝐺))
63 isinag.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (hlG‘𝐺)
6462, 63syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 → (hlG‘𝑔) = 𝐾)
6564fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → ((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1)) = (𝐾‘(𝑡‘1)))
6665breqd 4624 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))
6766orbi2d 737 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝) ↔ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)))
6861, 67anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))
6952, 68rexeqbidv 3142 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))
7069anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → ((((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝))) ↔ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)))))
7156, 70anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝)))) ↔ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))))
7271opabbidv 4678 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝))))} = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))})
73 df-inag 25628 . . . . 5 inA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝))))})
74 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
7551, 74eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
76 ovex 6632 . . . . . . 7 (𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V
7775, 76xpex 6915 . . . . . 6 (𝑃 × (𝑃𝑚 (0..^3))) ∈ V
78 opabssxp 5154 . . . . . 6 {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))} ⊆ (𝑃 × (𝑃𝑚 (0..^3)))
7977, 78ssexi 4763 . . . . 5 {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))} ∈ V
8072, 73, 79fvmpt 6239 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (inA‘𝐺) = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))})
8148, 49, 803syl 18 . . 3 (𝜑 → (inA‘𝐺) = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))})
8281breqd 4624 . 2 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ 𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
83 isinag.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
8424, 27, 31s3cld 13553 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
85 s3len 13575 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
8685a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
8784, 86jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
88 3nn0 11254 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
89 wrdmap 13275 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9075, 88, 89mp2an 707 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9187, 90sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9283, 91jca 554 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9392biantrurd 529 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))) ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))))
9447, 82, 933bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  {copab 4672   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  0cc0 9880  1c1 9881  2c2 11014  3c3 11015  0cn0 11236  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230  ⟨“cs3 13524  Basecbs 15781  Itvcitv 25235  hlGchlg 25395  inAcinag 25626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-inag 25628
This theorem is referenced by:  inagswap  25630  inaghl  25631
  Copyright terms: Public domain W3C validator