MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinv 16341
Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
invfval.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isinv (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 invfval.s . . . . 5 𝑆 = (Sect‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6invfval 16340 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋)))
87breqd 4624 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9 brin 4664 . . 3 (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
108, 9syl6bb 276 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11 eqid 2621 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12 eqid 2621 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13 eqid 2621 . . . . . 6 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
141, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4sectss 16333 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15 relxp 5188 . . . . 5 Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16 relss 5167 . . . . 5 ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . . . 4 (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18 relbrcnvg 5463 . . . 4 (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
2019anbi2d 739 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
2110, 20bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613   × cxp 5072  ccnv 5073  Rel wrel 5079  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Hom chom 15873  compcco 15874  Catccat 16246  Idccid 16247  Sectcsect 16325  Invcinv 16326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-sect 16328  df-inv 16329
This theorem is referenced by:  invsym  16343  invfun  16345  invco  16352  inveq  16355  monsect  16364  invid  16368  invcoisoid  16373  isocoinvid  16374  cicref  16382  funcinv  16454  fthinv  16507  fucinv  16554  invfuc  16555  2initoinv  16581  2termoinv  16588  setcinv  16661  catcisolem  16677  catciso  16678  rngcinv  41266  rngcinvALTV  41278  ringcinv  41317  ringcinvALTV  41341
  Copyright terms: Public domain W3C validator