MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinv 16621
Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
invfval.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isinv (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 invfval.s . . . . 5 𝑆 = (Sect‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6invfval 16620 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋)))
87breqd 4815 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9 brin 4856 . . 3 (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
108, 9syl6bb 276 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11 eqid 2760 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12 eqid 2760 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13 eqid 2760 . . . . . 6 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
141, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4sectss 16613 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15 relxp 5283 . . . . 5 Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16 relss 5363 . . . . 5 ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . . . 4 (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18 relbrcnvg 5662 . . . 4 (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
2019anbi2d 742 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
2110, 20bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ccnv 5265  Rel wrel 5271  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Hom chom 16154  compcco 16155  Catccat 16526  Idccid 16527  Sectcsect 16605  Invcinv 16606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-sect 16608  df-inv 16609
This theorem is referenced by:  invsym  16623  invfun  16625  invco  16632  inveq  16635  monsect  16644  invid  16648  invcoisoid  16653  isocoinvid  16654  cicref  16662  funcinv  16734  fthinv  16787  fucinv  16834  invfuc  16835  2initoinv  16861  2termoinv  16868  setcinv  16941  catcisolem  16957  catciso  16958  rngcinv  42491  rngcinvALTV  42503  ringcinv  42542  ringcinvALTV  42566
  Copyright terms: Public domain W3C validator