Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islaut 37099
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautset.l = (le‘𝐾)
lautset.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islaut (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lautset.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lautset.i . . . 4 𝐼 = (LAut‘𝐾)
41, 2, 3lautset 37098 . . 3 (𝐾𝐴𝐼 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))})
54eleq2d 2895 . 2 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))}))
6 f1of 6608 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
71fvexi 6677 . . . . 5 𝐵 ∈ V
8 fex 6980 . . . . 5 ((𝐹:𝐵𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8sylancl 586 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹 ∈ V)
109adantr 481 . . 3 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ V)
11 f1oeq1 6597 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
12 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑦) = (𝐹𝑦))
1412, 13breq12d 5070 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) (𝑓𝑦) ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1514bibi2d 344 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
16152ralbidv 3196 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
1711, 16anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦))) ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
1810, 17elab3 3671 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑓𝑥) (𝑓𝑦)))} ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
195, 18syl6bb 288 1 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wral 3135  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  LAutclaut 37001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-laut 37005
This theorem is referenced by:  lautle  37100  laut1o  37101  lautcnv  37106  idlaut  37112  lautco  37113  cdleme50laut  37563
  Copyright terms: Public domain W3C validator