Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isldepslvec2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isldepslvec2 42063
Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 42061 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z 𝑍 = (0g𝑀)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
isldepslvec2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2
Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 18873 . . . 4 (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 479 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
3 simpr 475 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4 islindeps2.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
54lvecdrng 18872 . . . . 5 (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
6 drngnzr 19029 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ NzRing)
87adantr 479 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑅 ∈ NzRing)
9 islindeps2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 islindeps2.z . . . 4 𝑍 = (0g𝑀)
11 islindeps2.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
12 islindeps2.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
139, 10, 4, 11, 12islindeps2 42061 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
142, 3, 8, 13syl3anc 1317 . 2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
159, 10, 4, 11, 12islindeps 42031 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
16 df-3an 1032 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
17 r19.42v 3072 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
1816, 17bitr4i 265 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
1918rexbii 3022 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
20 rexcom 3079 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
2119, 20bitri 262 . . . 4 (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
22 simplr 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
231ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
2522, 23, 243jca 1234 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆))
2625ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆))
27 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
28 elmapi 7742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) → 𝑔:𝑆𝐸)
29 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:𝑆𝐸𝑠𝑆) → (𝑔𝑠) ∈ 𝐸)
3028, 24, 29syl2anr 493 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) → (𝑔𝑠) ∈ 𝐸)
31 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔𝑠) ≠ 0 )
3230, 31anim12i 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
335ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
3433ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
35 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3611, 35, 12drngunit 18521 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
3832, 37mpbird 245 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))
39 simpll 785 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → 𝑔 finSupp 0 )
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 finSupp 0 )
41 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (invg𝑅) = (invg𝑅)
42 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (invr𝑅) = (invr𝑅)
43 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
44 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))
459, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit2 42056 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 )
4626, 27, 38, 40, 45syl13anc 1319 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 )
47 simpll 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LVec)
4822, 47, 243jca 1234 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠𝑆))
4948ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠𝑆))
50 simprr 791 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔𝑠) ≠ 0 )
51 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
5251adantl 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
53 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑔𝑧) = (𝑔𝑦))
5453oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)) = (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑦)))
5554cbvmptv 4672 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑦)))
569, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55lincreslvec3 42060 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
5749, 27, 50, 40, 52, 56syl131anc 1330 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
589, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit1 42055 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})))
5926, 27, 38, 58syl12anc 1315 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})))
60 breq1 4580 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ))
61 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
6261eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
6360, 62anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6463adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6559, 64rspcedv 3285 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6646, 57, 65mp2and 710 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
6766ex 448 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6867rexlimdva 3012 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6968reximdva 2999 . . . 4 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
7021, 69syl5bi 230 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
7115, 70sylbid 228 . 2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 → ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
7214, 71impbid 200 1 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cdif 3536  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721   finSupp cfsupp 8135  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  Scalarcsca 15717  0gc0g 15869  invgcminusg 17192  Unitcui 18408  invrcinvr 18440  DivRingcdr 18516  LModclmod 18632  LVecclvec 18869  NzRingcnzr 19024   linC clinc 41982   linDepS clindeps 42019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lvec 18870  df-nzr 19025  df-linc 41984  df-lininds 42020  df-lindeps 42022
This theorem is referenced by:  ldepslinc  42087
  Copyright terms: Public domain W3C validator