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Theorem isleag 25479
Description: Geometrical "less than" property for angles. Definition 11.27 of [Schwabhauser] p. 102. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isleag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a (𝜑𝐴𝑃)
isleag.b (𝜑𝐵𝑃)
isleag.c (𝜑𝐶𝑃)
isleag.d (𝜑𝐷𝑃)
isleag.e (𝜑𝐸𝑃)
isleag.f (𝜑𝐹𝑃)
Assertion
Ref Expression
isleag (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Proof of Theorem isleag
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isleag.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
2 elex 3184 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
3 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
4 isleag.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Base‘𝐺)
53, 4syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
65oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) = (𝑃𝑚 (0..^3)))
76eleq2d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
86eleq2d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
97, 8anbi12d 742 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))))
10 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (inA‘𝑔) = (inA‘𝐺))
1110breqd 4588 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥(inA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ↔ 𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩))
12 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (cgrA‘𝑔) = (cgrA‘𝐺))
1312breqd 4588 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩ ↔ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))
1411, 13anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑥(inA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩) ↔ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩)))
155, 14rexeqbidv 3129 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥(inA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩)))
169, 15anbi12d 742 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥(inA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))))
1716opabbidv 4642 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥(inA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))})
18 df-leag 25478 . . . . . 6 = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥(inA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝑔)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))})
19 ovex 6555 . . . . . . . 8 (𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V
20 xpexg 6836 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V ∧ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V) → ((𝑃𝑚 (0..^3)) × (𝑃𝑚 (0..^3))) ∈ V)
2119, 19, 20mp2an 703 . . . . . . 7 ((𝑃𝑚 (0..^3)) × (𝑃𝑚 (0..^3))) ∈ V
22 opabssxp 5106 . . . . . . 7 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))} ⊆ ((𝑃𝑚 (0..^3)) × (𝑃𝑚 (0..^3)))
2321, 22ssexi 4726 . . . . . 6 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))} ∈ V
2417, 18, 23fvmpt 6176 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (≤𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))})
251, 2, 243syl 18 . . . 4 (𝜑 → (≤𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))})
2625breqd 4588 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
27 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
2827fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
2927fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
3027fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
3128, 29, 30s3eqd 13409 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩)
3231breq2d 4589 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ↔ 𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩))
33 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
3433fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
3533fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
3633fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
3734, 35, 36s3eqd 13409 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩)
38 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3928, 29, 38s3eqd 13409 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩ = ⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩)
4037, 39breq12d 4590 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩ ↔ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩))
4132, 40anbi12d 742 . . . . . 6 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩) ↔ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩)))
4241rexbidv 3033 . . . . 5 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩)))
43 eqid 2609 . . . . 5 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))}
4442, 43brab2a 5081 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩)))
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)(𝑏‘2)”⟩ ∧ ⟨“(𝑎‘0)(𝑎‘1)(𝑎‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(𝑏‘0)(𝑏‘1)𝑥”⟩))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩))))
46 isleag.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑃)
47 s3fv0 13435 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
49 isleag.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝑃)
50 s3fv1 13436 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
52 isleag.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑃)
53 s3fv2 13437 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
5548, 51, 54s3eqd 13409 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
5655breq2d 4589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ↔ 𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
57 isleag.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
58 s3fv0 13435 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
60 isleag.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑃)
61 s3fv1 13436 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
63 isleag.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
64 s3fv2 13437 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
6659, 62, 65s3eqd 13409 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
67 eqidd 2610 . . . . . . . 8 (𝜑𝑥 = 𝑥)
6848, 51, 67s3eqd 13409 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)
6966, 68breq12d 4590 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
7056, 69anbi12d 742 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩) ↔ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
7170rexbidv 3033 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
7271anbi2d 735 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)”⟩ ∧ ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑥”⟩)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))))
7326, 45, 723bitrd 292 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))))
7457, 60, 63s3cld 13416 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
75 s3len 13438 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
7675a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
7774, 76jca 552 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
78 fvex 6098 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
794, 78eqeltri 2683 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
80 3nn0 11160 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
81 wrdmap 13140 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
8279, 80, 81mp2an 703 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
8377, 82sylib 206 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
8446, 49, 52s3cld 13416 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
85 s3len 13438 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
8685a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3)
8784, 86jca 552 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3))
88 wrdmap 13140 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
8979, 80, 88mp2an 703 . . . . 5 ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9087, 89sylib 206 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9183, 90jca 552 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9291biantrurd 527 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))))
9373, 92bitr4d 269 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  {copab 4636   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  0cc0 9793  1c1 9794  2c2 10920  3c3 10921  0cn0 11142  ..^cfzo 12292  #chash 12937  Word cword 13095  ⟨“cs3 13387  Basecbs 15644  TarskiGcstrkg 25074  cgrAccgra 25445  inAcinag 25472  cleag 25473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-leag 25478
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