Theorem islindf2 20960

Description: Property of an independent family of vectors with prior constrained domain and codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islindf.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islindf.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islindf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑆)
islindf.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
islindf2	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊,𝑥   0 ,𝑘   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐼,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘)   · (𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem islindf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝑊 ∈ 𝑌)
2		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
3		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑋)
4		fex 6991	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6		islindf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		islindf.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		islindf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9		islindf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
10		islindf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑆)
11		islindf.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	islindf 20958	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
13	1, 5, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
14		ffdm 6538	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐼))
15	14	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
16	15	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐵)
17	16	biantrurd 535	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
18		fdm 6524	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
19	18	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → dom 𝐹 = 𝐼)
20	19	difeq1d 4100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
21	20	imaeq2d 5931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
22	21	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
23	22	eleq2d 2900	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
24	23	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
25	24	ralbidv 3199	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
26	19, 25	raleqbidv 3403	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
27	13, 17, 26	3bitr2d 309	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569   class class class wbr 5068  dom cdm 5557   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  LSpanclspn 19745   LIndF clindf 20950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-lindf 20952

This theorem is referenced by:  lindfmm  20973  islindf4  20984