MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf2 20201
Description: Property of an independent family of vectors with prior constrained domain and codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf.v · = ( ·𝑠𝑊)
islindf.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islindf.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islindf.n 𝑁 = (Base‘𝑆)
islindf.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
islindf2 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊,𝑥   0 ,𝑘   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐼,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑌,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘)   · (𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem islindf2
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → 𝑊𝑌)
2 simp3 1083 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹:𝐼𝐵)
3 simp2 1082 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → 𝐼𝑋)
4 fex 6530 . . . 4 ((𝐹:𝐼𝐵𝐼𝑋) → 𝐹 ∈ V)
52, 3, 4syl2anc 694 . . 3 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6 islindf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 islindf.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
8 islindf.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
9 islindf.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
10 islindf.n . . . 4 𝑁 = (Base‘𝑆)
11 islindf.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
126, 7, 8, 9, 10, 11islindf 20199 . . 3 ((𝑊𝑌𝐹 ∈ V) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
131, 5, 12syl2anc 694 . 2 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
14 ffdm 6100 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝐵 → (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ dom 𝐹𝐼))
1514simpld 474 . . . 4 (𝐹:𝐼𝐵𝐹:dom 𝐹𝐵)
16153ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹:dom 𝐹𝐵)
1716biantrurd 528 . 2 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))))))
18 fdm 6089 . . . 4 (𝐹:𝐼𝐵 → dom 𝐹 = 𝐼)
19183ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → dom 𝐹 = 𝐼)
2019difeq1d 3760 . . . . . . . 8 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (dom 𝐹 ∖ {𝑥}) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
2120imaeq2d 5501 . . . . . . 7 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))
2221fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
2322eleq2d 2716 . . . . 5 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → ((𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
2423notbid 307 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
2524ralbidv 3015 . . 3 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
2619, 25raleqbidv 3182 . 2 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (dom 𝐹 ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
2713, 17, 263bitr2d 296 1 ((𝑊𝑌𝐼𝑋𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (𝐹𝑥)) ∈ (𝐾‘(𝐹 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LSpanclspn 19019   LIndF clindf 20191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-lindf 20193
This theorem is referenced by:  lindfmm  20214  islindf4  20225
  Copyright terms: Public domain W3C validator