MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds4 20093
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. (AC equivalent) (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islinds4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏   𝑊,𝑏   𝑌,𝑏

Proof of Theorem islinds4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
2 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32linds1 20068 . . . . 5 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
43adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊))
5 lveclmod 19025 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
65ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
87lvecdrng 19024 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9 drngnzr 19181 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
1110ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing)
12 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
13 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑌)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1514, 7lindsind2 20077 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NzRing) ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1329 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
1716ralrimiva 2960 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑥𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥})))
18 islinds4.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
1918, 2, 14lbsext 19082 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑌 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑌 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏)
201, 4, 17, 19syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏)
2120ex 450 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏))
225ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑊 ∈ LMod)
2318lbslinds 20091 . . . . . . 7 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
2423sseli 3579 . . . . . 6 (𝑏𝐽𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
2524ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊))
26 simpr 477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑌𝑏)
27 lindsss 20082 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) ∧ 𝑌𝑏) → 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊))
2928ex 450 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏𝐽) → (𝑌𝑏𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
3029rexlimdva 3024 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑏𝐽 𝑌𝑏𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
3121, 30impbid 202 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑏𝐽 𝑌𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  DivRingcdr 18668  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  LBasisclbs 18993  LVecclvec 19021  NzRingcnzr 19176  LIndSclinds 20063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-ac2 9229  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-rpss 6890  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-ac 8883  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lbs 18994  df-lvec 19022  df-nzr 19177  df-lindf 20064  df-linds 20065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator