Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2 34316
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j = (join‘𝐾)
islln3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islln2 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞)))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islln2
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 islln3.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
31, 2llnbase 34314 . . 3 (𝑋𝑁𝑋𝐵)
43pm4.71ri 664 . 2 (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵𝑋𝑁))
5 islln3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 islln3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
71, 5, 6, 2islln3 34315 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
87pm5.32da 672 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋𝐵𝑋𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞)))))
94, 8syl5bb 272 1 (𝐾 ∈ HL → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  joincjn 16884  Atomscatm 34069  HLchlt 34156  LLinesclln 34296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303
This theorem is referenced by:  islpln5  34340  lplnnlelln  34348  llncvrlpln2  34362  2llnjN  34372  lvolnlelln  34389
  Copyright terms: Public domain W3C validator