Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln2a 33617
Description: The predicate "is a lattice line" in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln2a.j = (join‘𝐾)
islln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln2a.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))

Proof of Theorem islln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 6534 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2 islln2a.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
3 islln2a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjidm 33469 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
543adant2 1072 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
61, 5sylan9eqr 2665 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
7 islln2a.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LLines‘𝐾)
83, 7llnneat 33614 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝑁) → ¬ 𝑄𝐴)
98adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑄𝑁) → ¬ 𝑄𝐴)
109ex 448 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑄𝑁 → ¬ 𝑄𝐴))
1110con2d 127 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑄𝐴 → ¬ 𝑄𝑁))
12113impia 1252 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑄𝑁)
1312adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑄𝑁)
146, 13eqneltrd 2706 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
1514ex 448 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁))
1615necon2ad 2796 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))
172, 3, 7llni2 33612 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
1817ex 448 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁))
1916, 18impbid 200 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁𝑃𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cfv 5790  (class class class)co 6527  joincjn 16713  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LLinesclln 33591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598
This theorem is referenced by:  cdleme16d  34382
  Copyright terms: Public domain W3C validator