Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islmodfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmodfg 37140
Description: Property of a finitely generated left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmodfg.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islmodfg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islmodfg (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝐵,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islmodfg
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lfig 37139 . . . 4 LFinGen = {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))}
21eleq2i 2690 . . 3 (𝑊 ∈ LFinGen ↔ 𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))})
3 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑎 = 𝑊 → (Base‘𝑎) = (Base‘𝑊))
4 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = (LSpan‘𝑊))
5 islmodfg.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
64, 5syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑊 → (LSpan‘𝑎) = 𝑁)
73pweqd 4137 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑊 → 𝒫 (Base‘𝑎) = 𝒫 (Base‘𝑊))
87ineq1d 3793 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑊 → (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin) = (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))
96, 8imaeq12d 5428 . . . . 5 (𝑎 = 𝑊 → ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) = (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)))
103, 9eleq12d 2692 . . . 4 (𝑎 = 𝑊 → ((Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin)) ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
1110elrab3 3348 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ {𝑎 ∈ LMod ∣ (Base‘𝑎) ∈ ((LSpan‘𝑎) “ (𝒫 (Base‘𝑎) ∩ Fin))} ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
122, 11syl5bb 272 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ (Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))))
13 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1513, 14, 5lspf 18896 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊))
16 ffn 6004 . . . . 5 (𝑁:𝒫 (Base‘𝑊)⟶(LSubSp‘𝑊) → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊))
18 inss1 3813 . . . 4 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
19 fvelimab 6212 . . . 4 ((𝑁 Fn 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)))
2017, 18, 19sylancl 693 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)))
21 elin 3776 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin))
22 islmodfg.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑊)
2322eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = 𝐵
2423pweqi 4136 . . . . . . . . 9 𝒫 (Base‘𝑊) = 𝒫 𝐵
2524eleq2i 2690 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)
2625anbi1i 730 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin))
2721, 26bitri 264 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin))
2823eqeq2i 2633 . . . . . 6 ((𝑁𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ (𝑁𝑏) = 𝐵)
2927, 28anbi12i 732 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵))
30 anass 680 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
3129, 30bitri 264 . . . 4 ((𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = (Base‘𝑊)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
3231rexbii2 3032 . . 3 (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)(𝑁𝑏) = (Base‘𝑊) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵))
3320, 32syl6bb 276 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ∈ (𝑁 “ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
3412, 33bitrd 268 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑊 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  cin 3555  wss 3556  𝒫 cpw 4132  cima 5079   Fn wfn 5844  wf 5845  cfv 5849  Fincfn 7902  Basecbs 15784  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854  LSpanclspn 18893  LFinGenclfig 37138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lfig 37139
This theorem is referenced by:  islssfg  37141  lnrfg  37191
  Copyright terms: Public domain W3C validator