Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpcn 39262
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
islpcn.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
islpcn (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑥   𝑆,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 22492 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
4 islpcn.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 islpcn.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6 unicntop 38676 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
76islp2 20854 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
83, 4, 5, 7syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
9 cnxmet 22481 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
115adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
12 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
131cnfldtopn 22490 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1413blnei 22212 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1510, 11, 12, 14syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1615adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
17 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
18 ineq1 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
1918neeq1d 2855 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
2019rspcva 3298 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
2116, 17, 20syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
22 n0 3912 . . . . . . 7 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2321, 22sylib 208 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
24 elinel2 3783 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2724eldifad 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥𝑆)
2926, 28sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
305adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
3129, 30abssubd 14121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑥)))
32 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 22479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3430, 29, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3531, 34eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
3635adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
37 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4011adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
41 rpxr 11784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
43 elbl 22098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4538, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
4645simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
4736, 46eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
4825, 47jca 554 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
4948ex 450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5049adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5150eximdv 1848 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5223, 51mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
53 df-rex 2918 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
5452, 53sylibr 224 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
5554ralrimiva 2965 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
569a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
5713neibl 22211 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5856, 5, 57syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5958simplbda 653 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
6059adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
61 nfv 1845 . . . . . . . 8 𝑒𝜑
62 nfra1 2941 . . . . . . . 8 𝑒𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
6361, 62nfan 1830 . . . . . . 7 𝑒(𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
64 nfv 1845 . . . . . . 7 𝑒 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})
6563, 64nfan 1830 . . . . . 6 𝑒((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
66 nfv 1845 . . . . . 6 𝑒(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅
67 simp1l 1083 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝜑)
68 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝑒 ∈ ℝ+)
6967, 68jca 554 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝜑𝑒 ∈ ℝ+))
70 rspa 2930 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
7170adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
72713adant3 1079 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
73 simp3 1061 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
7453biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
7574ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
76 nfv 1845 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
77 nfre1 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
7876, 77nfan 1830 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
79 nfv 1845 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛
8078, 79nfan 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
81 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
824adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
83 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥𝑆)
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
8582, 84sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8685adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ ℂ)
875adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑃 ∈ ℂ)
8887, 85, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
8987, 85abssubd 14121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (abs‘(𝑃𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9088, 89eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9190adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
92 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
9391, 92eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
9486, 93jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
9594adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
9711adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑃 ∈ ℂ)
9841ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ*)
9996, 97, 98, 43syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
10095, 99mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
101100adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
10281, 101sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥𝑛)
103 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
104102, 103elind 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
105104ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
106105adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10780, 106eximd 2088 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
109 n0 3912 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
110108, 109sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11169, 72, 73, 110syl21anc 1322 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
1121113exp 1261 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
113112adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
11465, 66, 113rexlimd 3024 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
11560, 114mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
116115ralrimiva 2965 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11755, 116impbida 876 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
1188, 117bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  ccom 5083  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  *cxr 10018   < clt 10019  cmin 10211  +crp 11776  abscabs 13903  TopOpenctopn 15998  ∞Metcxmt 19645  ballcbl 19647  fldccnfld 19660  Topctop 20612  neicnei 20806  limPtclp 20843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-rest 15999  df-topn 16000  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-xms 22030  df-ms 22031
This theorem is referenced by:  limclner  39274
  Copyright terms: Public domain W3C validator