Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islsat 34104
Description: The predicate "is a 1-dim subspace (atom)" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islsat (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem islsat
StepHypRef Expression
1 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
51, 2, 3, 4lsatset 34103 . . 3 (𝑊𝑋𝐴 = ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})))
65eleq2d 2686 . 2 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))))
7 eqid 2621 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥}))
8 fvex 6199 . . 3 (𝑁‘{𝑥}) ∈ V
97, 8elrnmpti 5374 . 2 (𝑈 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑁‘{𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
106, 9syl6bb 276 1 (𝑊𝑋 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  cdif 3569  {csn 4175  cmpt 4727  ran crn 5113  cfv 5886  Basecbs 15851  0gc0g 16094  LSpanclspn 18965  LSAtomsclsa 34087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-fv 5894  df-lsatoms 34089
This theorem is referenced by:  lsatlspsn2  34105  lsatlspsn  34106  islsati  34107  lsateln0  34108  lsatn0  34112  lsatcmp  34116  lsmsat  34121  lsatfixedN  34122  islshpat  34130  lsatcv0  34144  lsat0cv  34146  lcv1  34154  l1cvpat  34167  dih1dimatlem  36444  dihlatat  36452  dochsatshp  36566
  Copyright terms: Public domain W3C validator