Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpcv 33820
 Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
islshpcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
Assertion
Ref Expression
islshpcv (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpcv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islshpcv.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 eqid 2621 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4 islshpcv.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5 eqid 2621 . . 3 (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6 islshpcv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19025 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
91, 2, 3, 4, 5, 8islshpat 33784 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10 simp12 1090 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
111, 2lssss 18856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
13 simp13 1091 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
14 df-pss 3571 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑉 ↔ (𝑈𝑉𝑈𝑉))
1512, 13, 14sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
16 psseq2 3673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝑉))
17163ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝑉))
1815, 17mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19 islshpcv.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
2063ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21203ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
232, 3, 5, 19, 21, 10, 22lcv2 33809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
2418, 23mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25 simp3 1061 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
2624, 25breqtrd 4639 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
2710, 26jca 554 . . . . . 6 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉))
2827rexlimdv3a 3026 . . . . 5 ((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
29283exp 1261 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑆 → (𝑈𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))))
30293impd 1278 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
31 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝑆)
326adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
338adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
341, 2lss1 18858 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉𝑆)
36 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
372, 19, 32, 31, 35, 36lcvpss 33791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝑉)
3837pssned 3683 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝑉)
392, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36lcvat 33797 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
4031, 38, 393jca 1240 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
4140ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉) → (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
4230, 41impbid 202 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
439, 42bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   ⊊ wpss 3556   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  LSSumclsm 17970  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LVecclvec 19021  LSAtomsclsa 33741  LSHypclsh 33742   ⋖L clcv 33785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lshyp 33744  df-lcv 33786 This theorem is referenced by:  l1cvpat  33821  lshpat  33823
 Copyright terms: Public domain W3C validator