MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss3 19660
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islss3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islss3.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19637 . . . 4 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
43adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈𝑉)
5 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
65, 1ressbas2 16543 . . . . . 6 (𝑈𝑉𝑈 = (Base‘𝑋))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
83, 7sylan2 592 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
9 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
105, 9ressplusg 16600 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (+g𝑊) = (+g𝑋))
1110adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
12 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
135, 12resssca 16638 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
15 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
165, 15ressvsca 16639 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
1716adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
18 eqidd 2819 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19 eqidd 2819 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
20 eqidd 2819 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
21 eqidd 2819 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
2212lmodring 19571 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
242lsssubg 19658 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
255subggrp 18220 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
27 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2812, 15, 27, 2lssvscl 19656 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
29283impb 1107 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
30 simpll 763 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
31 simpr1 1186 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
323ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
33 simpr2 1187 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑈)
3432, 33sseldd 3965 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑎𝑉)
35 simpr3 1188 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
3632, 35sseldd 3965 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 19586 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1364 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎(+g𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)))
39 simpll 763 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr1 1186 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
41 simpr2 1187 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
423ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑈𝑉)
43 simpr3 1188 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑈)
4442, 43sseldd 3965 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → 𝑏𝑉)
45 eqid 2818 . . . . . 6 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 19587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1364 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑏)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
48 eqid 2818 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 19588 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1364 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑏)))
514sselda 3964 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑉)
52 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
531, 12, 15, 52lmodvs1 19591 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5453adantlr 711 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
5551, 54syldan 591 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑥) = 𝑥)
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 19569 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
574, 56jca 512 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod))
58 simprl 767 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑉)
5958, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
60 fvex 6676 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) ∈ V
6159, 60syl6eqel 2918 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
625, 12resssca 16638 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6361, 62syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
6463eqcomd 2824 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
65 eqidd 2819 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
661a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
675, 9ressplusg 16600 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6861, 67syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑊) = (+g𝑋))
6968eqcomd 2824 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (+g𝑋) = (+g𝑊))
705, 15ressvsca 16639 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7161, 70syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
7271eqcomd 2824 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑊))
732a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
7459, 58eqsstrrd 4003 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
75 lmodgrp 19570 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
7675ad2antll 725 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
77 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
7877grpbn0 18070 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
7976, 78syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ≠ ∅)
80 eqid 2818 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
8177, 80lss1 19639 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
8281ad2antll 725 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
83 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝑋) = (+g𝑋)
86 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 19643 . . . . 5 (((Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8882, 87sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑋)𝑎)(+g𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 19636 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
9059, 89eqeltrd 2910 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈𝑆)
9157, 90impbida 797 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  1rcur 19180  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633
This theorem is referenced by:  lsslmod  19661  lsslss  19662  issubassa  20026
  Copyright terms: Public domain W3C validator