MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss4 18724
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islss4.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
islss4.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss4.t · = ( ·𝑠𝑊)
islss4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islss4
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21lsssubg 18719 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3 islss4.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 islss4.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
5 islss4.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5, 1lssvscl 18717 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝑈)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
76ralrimivva 2948 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
82, 7jca 552 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈))
9 islss4.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
109subgss 17359 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈𝑉)
1110ad2antrl 759 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈𝑉)
12 eqid 2604 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1312subg0cl 17366 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
14 ne0i 3874 . . . . 5 ((0g𝑊) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ≠ ∅)
1615ad2antrl 759 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
17 eqid 2604 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1817subgcl 17368 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈𝑐𝑈) → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
19183exp 1255 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2019adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2120ralrimdv 2945 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2221ralimdv 2940 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2322ralimdv 2940 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2423impr 646 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 18697 . . 3 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1238 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈𝑆)
278, 26impbida 872 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wral 2890  wss 3534  c0 3868  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  Scalarcsca 15712   ·𝑠 cvsca 15713  0gc0g 15864  SubGrpcsubg 17352  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-lmod 18629  df-lss 18695
This theorem is referenced by:  lssacs  18729  lmhmima  18809  lmhmpreima  18810  lmhmeql  18817  lsmcl  18845  issubassa2  19107  mplind  19264  dsmmlss  19844
  Copyright terms: Public domain W3C validator