Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss4 19184
 Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islss4.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
islss4.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss4.t · = ( ·𝑠𝑊)
islss4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islss4
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
21lsssubg 19179 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3 islss4.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 islss4.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
5 islss4.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5, 1lssvscl 19177 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝑈)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
76ralrimivva 3109 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
82, 7jca 555 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈))
9 islss4.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
109subgss 17816 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈𝑉)
1110ad2antrl 766 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈𝑉)
12 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1312subg0cl 17823 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
14 ne0i 4064 . . . . 5 ((0g𝑊) ∈ 𝑈𝑈 ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ≠ ∅)
1615ad2antrl 766 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
17 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1817subgcl 17825 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈𝑐𝑈) → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
19183exp 1113 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2019adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
2120ralrimdv 3106 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2221ralimdv 3101 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2322ralimdv 3101 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2423impr 650 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 19157 . . 3 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈𝑐𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1429 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈𝑆)
278, 26impbida 913 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  SubGrpcsubg 17809  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155 This theorem is referenced by:  lssacs  19189  lmhmima  19269  lmhmpreima  19270  lmhmeql  19277  lsmcl  19305  issubassa2  19567  mplind  19724  dsmmlss  20310
 Copyright terms: Public domain W3C validator