Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfg 37117
Description: Property of a finitely generated left (sub-)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islssfg ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islssfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 islssfg.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 18856 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 islssfg.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
54, 1ressbas2 15852 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑈𝑆𝑈 = (Base‘𝑋))
76pweqd 4135 . . . 4 (𝑈𝑆 → 𝒫 𝑈 = 𝒫 (Base‘𝑋))
87rexeqdv 3134 . . 3 (𝑈𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
98adantl 482 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
10 elpwi 4140 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏𝑈)
11 islssfg.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
134, 11, 12, 2lsslsp 18934 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑏𝑈) → (𝑁𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
14133expa 1262 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏𝑈) → (𝑁𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
1510, 14sylan2 491 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → (𝑁𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
166ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1715, 16eqeq12d 2636 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑁𝑏) = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)))
1817anbi2d 739 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
1918rexbidva 3042 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
204, 2lsslmod 18879 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
21 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2221, 12islmodfg 37116 . . 3 (𝑋 ∈ LMod → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
2320, 22syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
249, 19, 233bitr4rd 301 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3555  𝒫 cpw 4130  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  s cress 15782  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LFinGenclfig 37114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lfig 37115
This theorem is referenced by:  islssfg2  37118  lmhmfgsplit  37133
  Copyright terms: Public domain W3C validator