MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn 23443
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))

Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 23440 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6089 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2715 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3syl5ib 234 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5 mbfdm 23440 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
65adantr 480 . . 3 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
7 ref 13896 . . . . . 6 ℜ:ℂ⟶ℝ
8 fco 6096 . . . . . 6 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
97, 8mpan 706 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
10 fdm 6089 . . . . 5 ((ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → dom (ℜ ∘ 𝐹) = 𝐴)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom (ℜ ∘ 𝐹) = 𝐴)
1211eleq1d 2715 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (dom (ℜ ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
136, 12syl5ib 234 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol))
149adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15 ismbf 23442 . . . . . . . 8 ((ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
17 imf 13897 . . . . . . . . . 10 ℑ:ℂ⟶ℝ
18 fco 6096 . . . . . . . . . 10 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1917, 18mpan 706 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
21 ismbf 23442 . . . . . . . 8 ((ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2316, 22anbi12d 747 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
24 r19.26 3093 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
2523, 24syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
26 mblss 23345 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 cnex 10055 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
28 reex 10065 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
29 elpm2r 7917 . . . . . . . 8 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3027, 28, 29mpanl12 718 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3126, 30sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3231biantrurd 528 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
3325, 32bitrd 268 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
34 ismbf1 23438 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
3533, 34syl6rbbr 279 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3635ex 449 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))))
374, 13, 36pm5.21ndd 368 1 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  ccom 5147  wf 5922  (class class class)co 6690  pm cpm 7900  cc 9972  cr 9973  (,)cioo 12213  cre 13881  cim 13882  volcvol 23278  MblFncmbf 23428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  23451  mbfres  23456  mbfimaopnlem  23467  mbfresfi  33586  itgaddnc  33600  itgmulc2nc  33608  ftc1anclem5  33619  mbfres2cn  40492
  Copyright terms: Public domain W3C validator