Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn2 23346
 Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismbfcn2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfcn2.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6351 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
4 ismbfcn 23338 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
6 eqidd 2622 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
7 ref 13802 . . . . . . 7 ℜ:ℂ⟶ℝ
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
98feqmptd 6216 . . . . 5 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
10 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
111, 6, 9, 10fmptco 6362 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
1211eleq1d 2683 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
13 imf 13803 . . . . . . 7 ℑ:ℂ⟶ℝ
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
1514feqmptd 6216 . . . . 5 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
16 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
171, 6, 15, 16fmptco 6362 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
1817eleq1d 2683 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
1912, 18anbi12d 746 . 2 (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
205, 19bitrd 268 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ↦ cmpt 4683   ∘ ccom 5088  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  ℂcc 9894  ℝcr 9895  ℜcre 13787  ℑcim 13788  MblFncmbf 23323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xadd 11907  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-xmet 19679  df-met 19680  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328 This theorem is referenced by:  mbfeqa  23350  mbfss  23353  mbfmulc2re  23355  mbfadd  23368  mbfmulc2  23370  mbflim  23375  mbfmul  23433  iblcn  23505  ibladd  23527  ibladdnc  33138  ftc1anclem2  33157  ftc1anclem5  33160  ftc1anclem6  33161  ftc1anclem8  33163
 Copyright terms: Public domain W3C validator