MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismre 16166
Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismre (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6179 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 elex 3203 . . 3 (𝑋𝐶𝑋 ∈ V)
323ad2ant2 1081 . 2 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4 pweq 4138 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
54pweqd 4140 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑐𝑋𝑐))
76anbi1d 740 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))))
85, 7rabeqbidv 3186 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
9 df-mre 16162 . . . . 5 Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
10 vpwex 4814 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
1110pwex 4813 . . . . . 6 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
1211rabex 4778 . . . . 5 {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ∈ V
138, 9, 12fvmpt3i 6245 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
1413eleq2d 2689 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))}))
15 eleq2 2693 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑋𝑐𝑋𝐶))
16 pweq 4138 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17 eleq2 2693 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → ( 𝑠𝑐 𝑠𝐶))
1817imbi2d 330 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
1916, 18raleqbidv 3146 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
2015, 19anbi12d 746 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2120elrab 3351 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2221a1i 11 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
23 pwexg 4815 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24 elpw2g 4792 . . . . . 6 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2625anbi1d 740 . . . 4 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
27 3anass 1040 . . . 4 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2826, 27syl6bbr 278 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2914, 22, 283bitrd 294 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
301, 3, 29pm5.21nii 368 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135   cint 4445  cfv 5850  Moorecmre 16158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-mre 16162
This theorem is referenced by:  mresspw  16168  mre1cl  16170  mreintcl  16171  ismred  16178
  Copyright terms: Public domain W3C validator