Theorem ismre 16860

Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ismre	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6702	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2		elex 3512	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1130	. 2 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4		pweq 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
5	4	pweqd 4557	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝑐))
7	6	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))))
8	5, 7	rabeqbidv 3485	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
9		df-mre 16856	. . . . 5 ⊢ Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
10		vpwex 5277	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
11	10	pwex 5280	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
12	11	rabex 5234	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt3i 6772	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))})
14	13	eleq2d 2898	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))}))
15		eleq2 2901	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑋 ∈ 𝑐 ↔ 𝑋 ∈ 𝐶))
16		pweq 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17		eleq2 2901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∩ 𝑠 ∈ 𝑐 ↔ ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
18	17	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
19	16, 18	raleqbidv 3401	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
20	15, 19	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
21	20	elrab 3679	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
23		pwexg 5278	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24		elpw2g 5246	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
26	25	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))))
27		3anass 1091	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
28	26, 27	syl6bbr 291	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
29	14, 22, 28	3bitrd 307	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))))
30	1, 3, 29	pm5.21nii 382	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∩ cint 4875  ‘cfv 6354  Moorecmre 16852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-mre 16856

This theorem is referenced by:  mresspw  16862  mre1cl  16864  mreintcl  16865  ismred  16872