MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismred 16464
Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismred.ss (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba (𝜑𝑋𝐶)
ismred.in ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
Assertion
Ref Expression
ismred (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred
StepHypRef Expression
1 ismred.ss . 2 (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 ismred.ba . 2 (𝜑𝑋𝐶)
3 selpw 4309 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
4 ismred.in . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
543expia 1115 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
63, 5sylan2b 493 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
76ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
8 ismre 16452 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1429 1 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cint 4627  cfv 6049  Moorecmre 16444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-mre 16448
This theorem is referenced by:  ismred2  16465  mremre  16466  submre  16467  subrgmre  19006  lssmre  19168  cssmre  20239  cldmre  21084  toponmre  21099  ismrcd1  37763
  Copyright terms: Public domain W3C validator