MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismred 16861
Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismred.ss (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba (𝜑𝑋𝐶)
ismred.in ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
Assertion
Ref Expression
ismred (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred
StepHypRef Expression
1 ismred.ss . 2 (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 ismred.ba . 2 (𝜑𝑋𝐶)
3 velpw 4543 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
4 ismred.in . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
543expia 1113 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
63, 5sylan2b 593 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
76ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
8 ismre 16849 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1335 1 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cint 4867  cfv 6348  Moorecmre 16841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-mre 16845
This theorem is referenced by:  ismred2  16862  mremre  16863  submre  16864  subrgmre  19488  lssmre  19667  cssmre  20765  cldmre  21614  toponmre  21629  ismrcd1  39173
  Copyright terms: Public domain W3C validator