Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyres 33938
Description: A restriction of an isometry is an isometry. The condition 𝐴𝑋 is not necessary but makes the proof easier. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyres.2 𝐵 = (𝐹𝐴)
ismtyres.3 𝑆 = (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))
ismtyres.4 𝑇 = (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ismtyres (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇))

Proof of Theorem ismtyres
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 33931 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
21simprbda 654 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
32adantrr 755 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1of1 6298 . . . 4 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
53, 4syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
6 simprr 813 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 f1ores 6313 . . 3 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
85, 6, 7syl2anc 696 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
91biimpa 502 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
109adantrr 755 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
11 ssel 3738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝑢𝐴𝑢𝑋))
12 ssel 3738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝑣𝐴𝑣𝑋))
1311, 12anim12d 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢𝑋𝑣𝑋)))
1413imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑋𝑣𝑋))
15 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑢𝑀𝑦))
16 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
1716oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)))
1815, 17eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) ↔ (𝑢𝑀𝑦) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦))))
19 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢𝑀𝑦) = (𝑢𝑀𝑣))
20 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣))
2120oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2219, 21eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢𝑀𝑦) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)) ↔ (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2318, 22rspc2v 3461 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑋𝑣𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2524imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2625an32s 881 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2726adantlrl 758 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2827adantlll 756 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
29 ismtyres.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))
3029oveqi 6827 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢(𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑣)
31 ovres 6966 . . . . . . . 8 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢(𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
3230, 31syl5eq 2806 . . . . . . 7 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
3332adantl 473 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
34 fvres 6369 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
3534ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
36 fvres 6369 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑣) = (𝐹𝑣))
3736ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝑣) = (𝐹𝑣))
3835, 37oveq12d 6832 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)))
39 ismtyres.4 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))
4039oveqi 6827 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)(𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝐹𝑣))
41 f1ofun 6301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → Fun 𝐹)
43 f1odm 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4443sseq2d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐴 ⊆ dom 𝐹𝐴𝑋))
4544biimparc 505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
46 funfvima2 6657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑢𝐴 → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴)))
4742, 45, 46syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑢𝐴 → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴)))
4847imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑢𝐴) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴))
49 ismtyres.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (𝐹𝐴)
5048, 49syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑢𝐴) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
5150adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
52 funfvima2 6657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑣𝐴 → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴)))
5342, 45, 52syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑣𝐴 → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴)))
5453imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴))
5554, 49syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
5655adantrl 754 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
5751, 56ovresd 6967 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝑢)(𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
5840, 57syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
5938, 58eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6059adantlrr 759 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6160adantlll 756 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6228, 33, 613eqtr4d 2804 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6362ralrimivva 3109 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6463adantlrl 758 . . 3 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6510, 64mpdan 705 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
66 xmetres2 22387 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
6729, 66syl5eqel 2843 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴))
6867ad2ant2rl 802 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴))
69 simplr 809 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
70 imassrn 5635 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
7149, 70eqsstri 3776 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ran 𝐹
72 f1ofo 6306 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
73 forn 6280 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
743, 72, 733syl 18 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ran 𝐹 = 𝑌)
7571, 74syl5sseq 3794 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐵𝑌)
76 xmetres2 22387 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
7769, 75, 76syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
7839, 77syl5eqel 2843 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑇 ∈ (∞Met‘𝐵))
7949fveq2i 6356 . . . 4 (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(𝐹𝐴))
8078, 79syl6eleq 2849 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑇 ∈ (∞Met‘(𝐹𝐴)))
81 isismty 33931 . . 3 ((𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝑇 ∈ (∞Met‘(𝐹𝐴))) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))))
8268, 80, 81syl2anc 696 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))))
838, 65, 82mpbir2and 995 1 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  1-1wf1 6046  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  ∞Metcxmt 19953   Ismty cismty 33928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-xr 10290  df-xmet 19961  df-ismty 33929
This theorem is referenced by:  reheibor  33969
  Copyright terms: Public domain W3C validator