MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnei 20817
Description: The predicate "𝑁 is a neighborhood of 𝑆." (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21neival 20816 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)})
32eleq2d 2684 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)}))
4 sseq2 3606 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑁 → (𝑔𝑣𝑔𝑁))
54anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
76elrab 3346 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
81topopn 20636 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
9 elpw2g 4787 . . . . . 6 (𝑋𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
1110anbi1d 740 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
127, 11syl5bb 272 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1312adantr 481 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
143, 13bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  cfv 5847  Topctop 20617  neicnei 20811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-top 20621  df-nei 20812
This theorem is referenced by:  neiint  20818  isneip  20819  neii1  20820  neii2  20822  neiss  20823  neips  20827  opnneissb  20828  opnssneib  20829  ssnei2  20830  innei  20839  neitr  20894  neitx  21320  neifg  32008  islptre  39255
  Copyright terms: Public domain W3C validator