MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isneip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isneip 20832
Description: The predicate "𝑁 is a neighborhood of point 𝑃." (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip
StepHypRef Expression
1 snssi 4313 . . 3 (𝑃𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32isnei 20830 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
41, 3sylan2 491 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
5 snssg 4301 . . . . . 6 (𝑃𝑋 → (𝑃𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
65anbi1d 740 . . . . 5 (𝑃𝑋 → ((𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
76rexbidv 3046 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁) ↔ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁)))
87anbi2d 739 . . 3 (𝑃𝑋 → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
98adantl 482 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔𝑔𝑁))))
104, 9bitr4d 271 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑃𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3559  {csn 4153   cuni 4407  cfv 5852  Topctop 20630  neicnei 20824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-top 20631  df-nei 20825
This theorem is referenced by:  neips  20840  neindisj  20844  neindisj2  20850  neiptopnei  20859  cnpnei  20991  fbflim2  21704  cnpflf2  21727  neibl  22229  neibastop2  32033  neibastop3  32034
  Copyright terms: Public domain W3C validator