Theorem isneip 21715

Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of point 𝑃". (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4743	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → {𝑃} ⊆ 𝑋)
2		neifval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	isnei 21713	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑃} ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
4	1, 3	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
5		snssg 4719	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑃 ∈ 𝑔 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑔))
6	5	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
7	6	rexbidv 3299	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
8	7	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
9	8	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
10	4, 9	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ∪ cuni 4840  ‘cfv 6357  Topctop 21503  neicnei 21707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-top 21504  df-nei 21708

This theorem is referenced by:  neips  21723  neindisj  21727  neindisj2  21733  neiptopnei  21742  cnpnei  21874  fbflim2  22587  cnpflf2  22610  neibl  23113  neibastop2  33711  neibastop3  33712