MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnghm 22437
Description: A normed group homomorphism is a group homomorphism with bounded norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
isnghm (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem isnghm
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21nghmfval 22436 . . 3 (𝑆 NGHom 𝑇) = (𝑁 “ ℝ)
32eleq2i 2690 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ))
4 n0i 3896 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) → ¬ (𝑁 “ ℝ) = ∅)
5 nmoffn 22425 . . . . . . . . . . 11 normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp)
6 fndm 5948 . . . . . . . . . . 11 ( normOp Fn (NrmGrp × NrmGrp) → dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom normOp = (NrmGrp × NrmGrp)
87ndmov 6771 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑆 normOp 𝑇) = ∅)
91, 8syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
109cnveqd 5258 . . . . . . 7 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
11 cnv0 5494 . . . . . . 7 ∅ = ∅
1210, 11syl6eq 2671 . . . . . 6 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = ∅)
1312imaeq1d 5424 . . . . 5 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = (∅ “ ℝ))
14 0ima 5441 . . . . 5 (∅ “ ℝ) = ∅
1513, 14syl6eq 2671 . . . 4 (¬ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 “ ℝ) = ∅)
164, 15nsyl2 142 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp))
171nmof 22433 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
18 ffn 6002 . . . 4 (𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇))
19 elpreima 6293 . . . 4 (𝑁 Fn (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
2116, 20biadan2 673 . 2 (𝐹 ∈ (𝑁 “ ℝ) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
223, 21bitri 264 1 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3891   × cxp 5072  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  *cxr 10017   GrpHom cghm 17578  NrmGrpcngp 22292   normOp cnmo 22419   NGHom cnghm 22420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-ico 12123  df-nmo 22422  df-nghm 22423
This theorem is referenced by:  isnghm2  22438  nghmcl  22441  nmoi  22442  nghmrcl1  22446  nghmrcl2  22447  nghmghm  22448  isnmhm2  22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator