MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp2 23135
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
isngp2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
41, 2, 3isngp 23134 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
5 isngp2.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 resss 5872 . . . . . . 7 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
75, 6eqsstri 4000 . . . . . 6 𝐸𝐷
8 sseq1 3991 . . . . . 6 ((𝑁 ) = 𝐸 → ((𝑁 ) ⊆ 𝐷𝐸𝐷))
97, 8mpbiri 259 . . . . 5 ((𝑁 ) = 𝐸 → (𝑁 ) ⊆ 𝐷)
10 isngp2.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
113reseq1i 5843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
125, 11eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
1310, 12msmet 22996 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
141, 10, 3, 5nmf2 23131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
1513, 14sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
1610, 2grpsubf 18118 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18 fco 6525 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1915, 17, 18syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2019fdmd 6517 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ) = (𝑋 × 𝑋))
2120reseq2d 5847 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
2210, 12msf 22997 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2322ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2423ffund 6512 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ 𝐷)
26 ssv 3990 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ V
27 fss 6521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
2819, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29 fssxp 6528 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3125, 30ssind 4208 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32 df-res 5561 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
335, 32eqtri 2844 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
3431, 33sseqtrrdi 4017 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) ⊆ 𝐸)
35 funssres 6392 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝑁 ))
3624, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 )) = (𝑁 ))
37 ffn 6508 . . . . . . . 8 (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38 fnresdm 6460 . . . . . . . 8 (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
3923, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
4021, 36, 393eqtr3d 2864 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ) = 𝐸)
4140ex 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ) = 𝐸))
429, 41impbid2 227 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
4342pm5.32i 575 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
44 df-3an 1081 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = 𝐸))
45 df-3an 1081 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
4643, 44, 453bitr4i 304 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) ⊆ 𝐷))
474, 46bitr4i 279 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3495  cin 3934  wss 3935   × cxp 5547  dom cdm 5549  cres 5551  ccom 5553  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  cr 10525  Basecbs 16473  distcds 16564  Grpcgrp 18043  -gcsg 18045  Metcmet 20461  MetSpcms 22857  normcnm 23115  NrmGrpcngp 23116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-0g 16705  df-topgen 16707  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-sbg 18048  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-xms 22859  df-ms 22860  df-nm 23121  df-ngp 23122
This theorem is referenced by:  isngp3  23136  ngpds  23142  ngppropd  23175  nrmtngdist  23195
  Copyright terms: Public domain W3C validator