MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp3 22342
Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isngp.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z = (-g𝐺)
isngp.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isngp3
StepHypRef Expression
1 isngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 isngp.z . . 3 = (-g𝐺)
3 isngp.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐺)
4 isngp2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2621 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
61, 2, 3, 4, 5isngp2 22341 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
74, 3msmet2 22205 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
81, 4, 3, 5nmf2 22337 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
97, 8sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
104, 2grpsubf 17434 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
12 fco 6025 . . . . . . . 8 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
139, 11, 12syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
14 ffn 6012 . . . . . . 7 ((𝑁 ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋))
167adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
17 metf 22075 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
18 ffn 6012 . . . . . . 7 ((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋))
20 eqfnov2 6732 . . . . . 6 (((𝑁 ) Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) Fn (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
2115, 19, 20syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)))
22 opelxpi 5118 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
23 fvco3 6242 . . . . . . . . . 10 (( :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
2411, 22, 23syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
25 df-ov 6618 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑁 )𝑦) = ((𝑁 )‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
26 df-ov 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦) = ( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2726fveq2i 6161 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑁‘( ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
2824, 25, 273eqtr4g 2680 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
29 ovres 6765 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
3029adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
3128, 30eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦)))
32 eqcom 2628 . . . . . . 7 ((𝑁‘(𝑥 𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦)))
3331, 32syl6bb 276 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
34332ralbidva 2984 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥(𝑁 )𝑦) = (𝑥(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3521, 34bitrd 268 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3635pm5.32i 668 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
37 df-3an 1038 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))))
38 df-3an 1038 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
3936, 37, 383bitr4i 292 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ) = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
406, 39bitri 264 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑥 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  cop 4161   × cxp 5082  cres 5086  ccom 5088   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  Basecbs 15800  distcds 15890  Grpcgrp 17362  -gcsg 17364  Metcme 19672  MetSpcmt 22063  normcnm 22321  NrmGrpcngp 22322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-0g 16042  df-topgen 16044  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-xms 22065  df-ms 22066  df-nm 22327  df-ngp 22328
This theorem is referenced by:  isngp4  22356  subgngp  22379
  Copyright terms: Public domain W3C validator