MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp4 22326
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p + = (+g𝐺)
ngprcan.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp4 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 22313 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 ngpms 22314 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3 ngprcan.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ngprcan.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
5 ngprcan.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐺)
63, 4, 5ngprcan 22324 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
76ralrimivvva 2966 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
81, 2, 73jca 1240 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10 simp2 1060 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
123, 11grpinvcl 17388 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2rl 784 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14 eqcom 2628 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
16 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
1715, 16oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))))
1817eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
1914, 18syl5bb 272 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
2019rspcv 3291 . . . . . . 7 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
2113, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
22 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝐺) = (-g𝐺)
233, 4, 11, 22grpsubval 17386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
2524eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g𝐺)𝑦))
26 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) = (0g𝐺)
273, 4, 26, 11grprinv 17390 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (0g𝐺))
2827ad2ant2rl 784 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (0g𝐺))
2925, 28oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
303, 22grpsubcl 17416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31303expb 1263 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
3231adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
3433, 3, 26, 5nmval 22304 . . . . . . . . 9 ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
3629, 35eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3736eqeq2d 2631 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
3821, 37sylibd 229 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
3938ralimdvva 2958 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
40393impia 1258 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
4133, 22, 5, 3isngp3 22312 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1244 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
438, 42impbii 199 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  distcds 15871  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  -gcsg 17345  MetSpcmt 22033  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator