MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnsqf 25052
Description: Two ways to say that a number is not squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnsqf (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isnsqf
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfi 25024 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
2 hashcl 13331 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11664 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
5 neg1cn 11308 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
6 neg1ne0 11310 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
7 expne0i 13078 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
85, 6, 7mp3an12 1555 . . . . . 6 ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
10 iffalse 4231 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1110neeq1d 2983 . . . . 5 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0 ↔ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0))
129, 11syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0))
13 muval 25049 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
1413neeq1d 2983 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0))
1512, 14sylibrd 249 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) ≠ 0))
1615necon4bd 2944 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17 iftrue 4228 . . 3 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
1813eqeq1d 2754 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0))
1917, 18syl5ibr 236 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) = 0))
2016, 19impbid 202 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wrex 3043  {crab 3046  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121  -cneg 10451  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  cexp 13046  chash 13303  cdvds 15174  cprime 15579  μcmu 25012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-dvds 15175  df-prm 15580  df-mu 25018
This theorem is referenced by:  issqf  25053  dvdssqf  25055  mumullem1  25096
  Copyright terms: Public domain W3C validator