Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnsqf 24761
 Description: Two ways to say that a number is not squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnsqf (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isnsqf
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfi 24733 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
2 hashcl 13087 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
5 neg1cn 11068 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
6 neg1ne0 11070 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
7 expne0i 12832 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ) → (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
85, 6, 7mp3an12 1411 . . . . . 6 ((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ → (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
10 iffalse 4067 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1110neeq1d 2849 . . . . 5 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0 ↔ (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0))
129, 11syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0))
13 muval 24758 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
1413neeq1d 2849 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0))
1512, 14sylibrd 249 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) ≠ 0))
1615necon4bd 2810 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
17 iftrue 4064 . . 3 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
1813eqeq1d 2623 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0))
1917, 18syl5ibr 236 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) = 0))
2016, 19impbid 202 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908  {crab 2911  ifcif 4058   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881  -cneg 10211  ℕcn 10964  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ↑cexp 12800  #chash 13057   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309  μcmu 24721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-dvds 14908  df-prm 15310  df-mu 24727 This theorem is referenced by:  issqf  24762  dvdssqf  24764  mumullem1  24805
 Copyright terms: Public domain W3C validator