Theorem isnv 8227

Description: The predicate "is a normed complex vector space."

Hypotheses

Ref	Expression
isnv.1	⊢ X = ran G
isnv.2	⊢ Z = (Id ‘G)

Assertion

Ref	Expression
isnv	⊢ (⟨⟨G, S⟩, N⟩ ∈ NrmCVec ↔ (⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ ⋀ ∀x ∈ X (((N ‘x) = 0 → x = Z) ⋀ ∀y ∈ ℂ (N ‘(ySx)) = ((abs ‘y) · (N ‘x)) ⋀ ∀y ∈ X (N ‘(xGy)) ≤ ((N ‘x) + (N ‘y)))))

Distinct variable groups:   x,y,G   x,N,y   x,S,y   x,X,y

Proof of Theorem isnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvex 8226	. 2 ⊢ (⟨⟨G, S⟩, N⟩ ∈ NrmCVec → (G ∈ V ⋀ S ∈ V ⋀ N ∈ V))
2		vcex 8195	. . . . . 6 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → (G ∈ V ⋀ S ∈ V))
3	2	adantr 391	. . . . 5 ⊢ ((⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ) → (G ∈ V ⋀ S ∈ V))
4		fex 3658	. . . . . . 7 ⊢ ((N:X–→ℝ ⋀ X ∈ V) → N ∈ V)
5	2	pm3.26d 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → G ∈ V)
6		rnexg 3365	. . . . . . . . 9 ⊢ (G ∈ V → ran G ∈ V)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → ran G ∈ V)
8		isnv.1	. . . . . . . 8 ⊢ X = ran G
9	7, 8	syl5eqel 1555	. . . . . . 7 ⊢ (⟨G, S⟩ ∈ CVec → X ∈ V)
10	4, 9	sylan2 453	. . . . . 6 ⊢ ((N:X–→ℝ ⋀ ⟨G, S⟩ ∈ CVec) → N ∈ V)
11	10	ancoms 438	. . . . 5 ⊢ ((⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ) → N ∈ V)
12	3, 11	jca 288	. . . 4 ⊢ ((⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ) → ((G ∈ V ⋀ S ∈ V) ⋀ N ∈ V))
13		df-3an 779	. . . 4 ⊢ ((G ∈ V ⋀ S ∈ V ⋀ N ∈ V) ↔ ((G ∈ V ⋀ S ∈ V) ⋀ N ∈ V))
14	12, 13	sylibr 200	. . 3 ⊢ ((⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ) → (G ∈ V ⋀ S ∈ V ⋀ N ∈ V))
15	14	3adant3 801	. 2 ⊢ ((⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ ⋀ ∀x ∈ X (((N ‘x) = 0 → x = Z) ⋀ ∀y ∈ ℂ (N ‘(ySx)) = ((abs ‘y) · (N ‘x)) ⋀ ∀y ∈ X (N ‘(xGy)) ≤ ((N ‘x) + (N ‘y)))) → (G ∈ V ⋀ S ∈ V ⋀ N ∈ V))
16		isnv.2	. . 3 ⊢ Z = (Id ‘G)
17	8, 16	isnvlem 8225	. 2 ⊢ ((G ∈ V ⋀ S ∈ V ⋀ N ∈ V) → (⟨⟨G, S⟩, N⟩ ∈ NrmCVec ↔ (⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ ⋀ ∀x ∈ X (((N ‘x) = 0 → x = Z) ⋀ ∀y ∈ ℂ (N ‘(ySx)) = ((abs ‘y) · (N ‘x)) ⋀ ∀y ∈ X (N ‘(xGy)) ≤ ((N ‘x) + (N ‘y))))))
18	1, 15, 17	pm5.21nii 681	1 ⊢ (⟨⟨G, S⟩, N⟩ ∈ NrmCVec ↔ (⟨G, S⟩ ∈ CVec ⋀ N:X–→ℝ ⋀ ∀x ∈ X (((N ‘x) = 0 → x = Z) ⋀ ∀y ∈ ℂ (N ‘(ySx)) = ((abs ‘y) · (N ‘x)) ⋀ ∀y ∈ X (N ‘(xGy)) ≤ ((N ‘x) + (N ‘y)))))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  Vcvv 1814  ⟨cop 2415   class class class wbr 2624  ran crn 3177  –→wf 3184   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   · cmul 5251   ≤ cle 5307  abscabs 6751  Idcgi 8031  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199

This theorem is referenced by:  isnvi 8228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207

Copyright terms: Public domain