MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnzr2 19185
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2𝑜𝐵))

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2621 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 19181 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 18492 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
74, 2ring0cl 18493 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
9 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
10 df-ne 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11 neeq1 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝑥𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ 𝑦))
1210, 11syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1r𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ 𝑦))
13 neeq2 2853 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (0g𝑅) → ((1r𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
1412, 13rspc2ev 3309 . . . . . . . 8 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
156, 8, 9, 14syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
1615ex 450 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
174, 1, 2ring1eq0 18514 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18173expb 1263 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
1918necon3bd 2804 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
2019rexlimdvva 3031 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
2116, 20impbid 202 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22 fvex 6160 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
234, 22eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
24 1sdom 8110 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (1𝑜𝐵 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (1𝑜𝐵 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
2621, 25syl6bbr 278 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ 1𝑜𝐵))
27 1onn 7667 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
28 sucdom 8104 . . . . . 6 (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜𝐵 ↔ suc 1𝑜𝐵))
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5 (1𝑜𝐵 ↔ suc 1𝑜𝐵)
30 df-2o 7509 . . . . . 6 2𝑜 = suc 1𝑜
3130breq1i 4622 . . . . 5 (2𝑜𝐵 ↔ suc 1𝑜𝐵)
3229, 31bitr4i 267 . . . 4 (1𝑜𝐵 ↔ 2𝑜𝐵)
3326, 32syl6bb 276 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ 2𝑜𝐵))
3433pm5.32i 668 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2𝑜𝐵))
353, 34bitri 264 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2𝑜𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4615  suc csuc 5686  cfv 5849  ωcom 7015  1𝑜c1o 7501  2𝑜c2o 7502  cdom 7900  csdm 7901  Basecbs 15784  0gc0g 16024  1rcur 18425  Ringcrg 18471  NzRingcnzr 19179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-nzr 19180
This theorem is referenced by:  opprnzr  19187  znfld  19831  znidomb  19832
  Copyright terms: Public domain W3C validator