Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnzr2hash 19312
 Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 19311. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 19307 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2hash.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 18614 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
64, 2ring0cl 18615 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
7 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
87rexri 10135 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
10 prex 4939 . . . . . . . 8 {(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V
11 hashxrcl 13186 . . . . . . . 8 ({(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V → (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
13 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
144, 13eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
15 hashxrcl 13186 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
17 1lt2 11232 . . . . . . . 8 1 < 2
18 hashprg 13220 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2))
1918biimpa 500 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2)
2017, 19syl5breqr 4723 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}))
21 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵))
22 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) ∈ V
23 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
2422, 23prss 4383 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
2521, 24sylib 208 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
26 hashss 13235 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵) → (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (#‘𝐵))
2714, 25, 26sylancr 696 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (#‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (#‘𝐵))
289, 12, 16, 20, 27xrltletrd 12030 . . . . . 6 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (#‘𝐵))
2928ex 449 . . . . 5 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (#‘𝐵)))
305, 6, 29syl2anc 694 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (#‘𝐵)))
3130imdistani 726 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
32 simpl 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
334, 1, 2ring1ne0 18637 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3432, 33jca 553 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3531, 34impbii 199 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
363, 35bitri 264 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  Basecbs 15904  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593  NzRingcnzr 19305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-nzr 19306 This theorem is referenced by:  0ringnnzr  19317  el0ldepsnzr  42581
 Copyright terms: Public domain W3C validator