Theorem isnzr2hash 19085

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 19084. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2hash.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2hash	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 19080	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2hash.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 18391	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	4, 2	ring0cl 18392	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		1re 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	rexri 9976	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
10		prex 4836	. . . . . . . 8 ⊢ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V
11		hashxrcl 13010	. . . . . . . 8 ⊢ ({(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
13		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
14	4, 13	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		hashxrcl 13010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
17		1lt2 11071	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
18		hashprg 13043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2))
19	18	biimpa 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2)
20	17, 19	syl5breqr 4621	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}))
21		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵))
22		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
23		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
24	22, 23	prss 4291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
25	21, 24	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
26		hashss 13058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (#‘𝐵))
27	14, 25, 26	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (#‘𝐵))
28	9, 12, 16, 20, 27	xrltletrd 11868	. . . . . 6 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (#‘𝐵))
29	28	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (#‘𝐵)))
30	5, 6, 29	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (#‘𝐵)))
31	30	imdistani 722	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
32		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	4, 1, 2	ring1ne0 18414	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
34	32, 33	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
35	31, 34	impbii 198	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
36	3, 35	bitri 263	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  NzRingcnzr 19078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-nzr 19079

This theorem is referenced by:  0ringnnzr  19090  el0ldepsnzr  42050