MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isocnv 6454
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6043 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
21adantr 479 . . 3 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
3 f1ocnvfv2 6407 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝐻‘(𝐻𝑧)) = 𝑧)
43adantrr 748 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝐻‘(𝐻𝑧)) = 𝑧)
5 f1ocnvfv2 6407 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝑤𝐵) → (𝐻‘(𝐻𝑤)) = 𝑤)
65adantrl 747 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝐻‘(𝐻𝑤)) = 𝑤)
74, 6breq12d 4586 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ 𝑧𝑆𝑤))
87adantlr 746 . . . . 5 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ 𝑧𝑆𝑤))
9 f1of 6031 . . . . . . 7 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴𝐻:𝐵𝐴)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐵𝐴)
11 ffvelrn 6246 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐵𝐴𝑧𝐵) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐴)
12 ffvelrn 6246 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐵𝐴𝑤𝐵) → (𝐻𝑤) ∈ 𝐴)
1311, 12anim12dan 877 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐵𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻𝑤) ∈ 𝐴))
14 breq1 4576 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐻𝑧) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦))
15 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐻𝑧) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐻𝑧)))
1615breq1d 4583 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦)))
1714, 16bibi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦))))
18 bicom 210 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦))
1917, 18syl6bb 274 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦)))
20 fveq2 6084 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻𝑤) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐻𝑤)))
2120breq2d 4585 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑤) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤))))
22 breq2 4577 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑤) → ((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2321, 22bibi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻𝑤) → (((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
2419, 23rspc2va 3289 . . . . . . . 8 ((((𝐻𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻𝑤) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2513, 24sylan 486 . . . . . . 7 (((𝐻:𝐵𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2625an32s 841 . . . . . 6 (((𝐻:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2710, 26sylanl1 679 . . . . 5 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
288, 27bitr3d 268 . . . 4 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2928ralrimivva 2949 . . 3 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
302, 29jca 552 . 2 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
31 df-isom 5795 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
32 df-isom 5795 . 2 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
3330, 31, 323imtr4i 279 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891   class class class wbr 4573  ccnv 5023  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786   Isom wiso 5787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795
This theorem is referenced by:  isores1  6458  isofr  6466  isose  6467  isopo  6470  isoso  6472  weisoeq  6479  weisoeq2  6480  fnwelem  7152  oieu  8300  oemapwe  8447  cantnffval2  8448  wemapwe  8450  infxpenlem  8692  fpwwe2lem7  9310  fpwwe2lem9  9312  infrenegsup  10849  ltweuz  12573  fz1isolem  13050  ordthmeo  21353  relogiso  24061  erdsze2lem2  30242  fzisoeu  38254
  Copyright terms: Public domain W3C validator