MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isotr 6540
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶))

Proof of Theorem isotr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐶)
2 simpl 473 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1oco 6116 . . . 4 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶)
41, 2, 3syl2anr 495 . . 3 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶)
5 f1of 6094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐴𝐵)
65ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐻:𝐴𝐵)
7 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
86, 7ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
9 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
106, 9ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑦) ∈ 𝐵)
11 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))
12 breq1 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐻𝑥) → (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑥)𝑆𝑤))
13 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻𝑥) → (𝐺𝑧) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
1413breq1d 4623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐻𝑥) → ((𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤)))
1512, 14bibi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐻𝑥) → ((𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)) ↔ ((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤))))
16 breq2 4617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐻𝑦) → ((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
17 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
1817breq2d 4625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐻𝑦) → ((𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
1916, 18bibi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤)) ↔ ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦)))))
2015, 19rspc2va 3307 . . . . . . . . . 10 ((((𝐻𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑦) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
218, 10, 11, 20syl21anc 1322 . . . . . . . . 9 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
22 fvco3 6232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐺𝐻)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
236, 7, 22syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐺𝐻)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
24 fvco3 6232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:𝐴𝐵𝑦𝐴) → ((𝐺𝐻)‘𝑦) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
256, 9, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐺𝐻)‘𝑦) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
2623, 25breq12d 4626 . . . . . . . . 9 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
2721, 26bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦)))
2827bibi2d 332 . . . . . . 7 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
29282ralbidva 2982 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3029biimpd 219 . . . . 5 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3130impancom 456 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3231imp 445 . . 3 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦)))
334, 32jca 554 . 2 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → ((𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
34 df-isom 5856 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
35 df-isom 5856 . . 3 (𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶) ↔ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))))
3634, 35anbi12i 732 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))))
37 df-isom 5856 . 2 ((𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶) ↔ ((𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3833, 36, 373imtr4i 281 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   class class class wbr 4613  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847   Isom wiso 5848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856
This theorem is referenced by:  weisoeq  6559  oieu  8388  fz1isolem  13183  erdsze2lem2  30894  fzisoeu  38978
  Copyright terms: Public domain W3C validator