MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isph 27565
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isph.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
isph.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
isph.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
isph (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 27557 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 isph.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2621 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 isph.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
52, 3, 4nvop 27419 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩)
6 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD))
7 fvex 6168 . . . . . . . 8 ( +𝑣𝑈) ∈ V
82, 7eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
9 fvex 6168 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V
10 fvex 6168 . . . . . . . 8 (normCV𝑈) ∈ V
114, 10eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
12 isph.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
1312, 2bafval 27347 . . . . . . . 8 𝑋 = ran 𝐺
1413isphg 27560 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
158, 9, 11, 14mp3an 1421 . . . . . 6 (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
16 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1712, 2, 3, 16nvmval 27385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
18173expa 1262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1918fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘(𝑥𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2019oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2) = ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
2120oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)))
2221eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2322ralbidva 2981 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2423ralbidva 2981 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
2524pm5.32i 668 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
26 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec))
2726anbi1d 740 . . . . . . 7 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2825, 27syl5rbb 273 . . . . . 6 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → ((⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))) ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
2915, 28syl5bb 272 . . . . 5 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
306, 29bitrd 268 . . . 4 (𝑈 = ⟨⟨𝐺, ( ·𝑠OLD𝑈)⟩, 𝑁⟩ → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
315, 30syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2))))))
3231bianabs 923 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
331, 32biadan2 673 1 (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑁‘(𝑥𝐺𝑦))↑2) + ((𝑁‘(𝑥𝑀𝑦))↑2)) = (2 · (((𝑁𝑥)↑2) + ((𝑁𝑦)↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  Vcvv 3190  cop 4161  cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  -cneg 10227  2c2 11030  cexp 12816  NrmCVeccnv 27327   +𝑣 cpv 27328  BaseSetcba 27329   ·𝑠OLD cns 27330  𝑣 cnsb 27332  normCVcnmcv 27333  CPreHilOLDccphlo 27555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-gdiv 27238  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-vs 27342  df-nmcv 27343  df-ph 27556
This theorem is referenced by:  phpar2  27566  sspph  27598
  Copyright terms: Public domain W3C validator