MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm3 15180
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 15179 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 iman 438 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
3 eluz2nn 11558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 nnz 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
5 dvdsle 14816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
64, 5sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
7 nnge1 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
87adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
96, 8jctild 563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
103, 9sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
11 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
12 nnre 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
13 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
14 leltne 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
1513, 14mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
16153adant2 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
17163expia 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1)))
18 leltne 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))
19183expia 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)))
2017, 19anim12d 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
2111, 12, 20syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
22 pm4.38 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧)))
23 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
24 nesym 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
2523, 24anbi12i 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
26 ioran 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
2725, 26bitr4i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
2822, 27syl6bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2921, 28syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
304, 3, 29syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3110, 30syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3231imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
33 eluzelz 11529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
34 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
35 zltp1le 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
3634, 35mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
37 df-2 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
3837breq1i 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
3936, 38syl6bbr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
41 zltlem1 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
4240, 41anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
43 peano2zm 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
44 2z 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
45 elfz 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4644, 45mp3an2 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4743, 46sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4842, 47bitr4d 269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
494, 33, 48syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5132, 50bitr3d 268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5251anasss 676 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5352expcom 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
5453pm5.32d 668 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
55 fzssuz 12208 . . . . . . . . . . . . 13 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
56 2eluzge1 11566 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘1)
57 uzss 11540 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1)
5955, 58sstri 3576 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘1)
60 nnuz 11555 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6159, 60sseqtr4i 3600 . . . . . . . . . . 11 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
6261sseli 3563 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
6362pm4.71ri 662 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6454, 63syl6bbr 276 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6564notbid 306 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
662, 65syl5bb 270 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6766pm5.74da 718 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
68 bi2.04 374 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
69 con2b 347 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃))
7067, 68, 693bitr3g 300 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃)))
7170ralbidv2 2966 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
7271pm5.32i 666 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
731, 72bitri 262 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  cdvds 14767  cprime 15169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-prm 15170
This theorem is referenced by:  prmind2  15182  2prm  15189  3prm  15190  ncoprmlnprm  15220  wilth  24514  mersenne  24669
  Copyright terms: Public domain W3C validator