MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  israg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem israg 26410
Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
israg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
2 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
41, 2, 3s3cld 14222 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5 fveqeq2 6672 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
6 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
7 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
86, 7oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
9 fveq1 6662 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
109fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1110, 7fveq12d 6670 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
126, 11oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
138, 12eqeq12d 2834 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
145, 13anbi12d 630 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
1514elrab3 3678 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
164, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
17 df-rag 26407 . . . 4 ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
18 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
1918fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
20 israg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2119, 20syl6eqr 2871 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
22 wrdeq 13874 . . . . . 6 ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2418fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
25 israg.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
2624, 25syl6eqr 2871 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = )
2726oveqd 7162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) (𝑤‘2)))
28 eqidd 2819 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
2918fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
30 israg.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
3129, 30syl6eqr 2871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
3231fveq1d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
3332fveq1d 6665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
3426, 28, 33oveq123d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
3527, 34eqeq12d 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
3635anbi2d 628 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
3723, 36rabeqbidv 3483 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
38 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
3938elexd 3512 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
4020fvexi 6677 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
4140wrdexi 13862 . . . . . 6 Word 𝑃 ∈ V
4241rabex 5226 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
4342a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
4417, 37, 39, 43fvmptd2 6768 . . 3 (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
4544eleq2d 2895 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
46 s3fv0 14241 . . . . . . 7 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4847eqcomd 2824 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
49 s3fv2 14243 . . . . . . 7 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
503, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
5150eqcomd 2824 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
5248, 51oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
53 s3fv1 14242 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
542, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
5554eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
5655fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
5756, 51fveq12d 6670 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
5848, 57oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
5952, 58eqeq12d 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
60 s3len 14244 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
6261biantrurd 533 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6359, 62bitrd 280 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6416, 45, 633bitr4d 312 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  2c2 11680  3c3 11681  chash 13678  Word cword 13849  ⟨“cs3 14192  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  pInvGcmir 26365  ∟Gcrag 26406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-rag 26407
This theorem is referenced by:  ragcom  26411  ragcol  26412  ragmir  26413  mirrag  26414  ragtrivb  26415  ragflat2  26416  ragflat  26417  ragcgr  26420  footexALT  26431  footexlem1  26432  footexlem2  26433  colperpexlem1  26443  colperpexlem3  26445  mideulem2  26447  opphllem  26448  lmiisolem  26509  hypcgrlem1  26512  hypcgrlem2  26513  trgcopyeulem  26518
  Copyright terms: Public domain W3C validator