Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  israg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem israg 25499
 Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
israg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
2 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
41, 2, 3s3cld 13556 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (#‘𝑤) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
65eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((#‘𝑤) = 3 ↔ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
7 fveq1 6149 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
8 fveq1 6149 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
97, 8oveq12d 6625 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
10 fveq1 6149 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
1110fveq2d 6154 . . . . . . . 8 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1211, 8fveq12d 6156 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
137, 12oveq12d 6625 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
149, 13eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
156, 14anbi12d 746 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
1615elrab3 3348 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
174, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
18 df-rag 25496 . . . . 5 ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
20 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
2120fveq2d 6154 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
22 israg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2321, 22syl6eqr 2673 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
24 wrdeq 13269 . . . . . 6 ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2620fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
27 israg.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
2826, 27syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = )
2928oveqd 6624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) (𝑤‘2)))
30 eqidd 2622 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
3120fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
32 israg.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
3331, 32syl6eqr 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
3433fveq1d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
3534fveq1d 6152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
3628, 30, 35oveq123d 6628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
3729, 36eqeq12d 2636 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
3837anbi2d 739 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
3925, 38rabeqbidv 3181 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
40 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
4140elexd 3200 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
42 fvex 6160 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
4322, 42eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
44 wrdexg 13257 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → Word 𝑃 ∈ V)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6 Word 𝑃 ∈ V
4645rabex 4775 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
4819, 39, 41, 47fvmptd 6247 . . 3 (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
4948eleq2d 2684 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((#‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
50 s3fv0 13575 . . . . . . 7 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
511, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
5251eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
53 s3fv2 13577 . . . . . . 7 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
543, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
5554eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
5652, 55oveq12d 6625 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
57 s3fv1 13576 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
582, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
5958eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
6059fveq2d 6154 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
6160, 55fveq12d 6156 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
6252, 61oveq12d 6625 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
6356, 62eqeq12d 2636 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
64 s3len 13578 . . . . 5 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
6564a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
6665biantrurd 529 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6763, 66bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6817, 49, 673bitr4d 300 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186   ↦ cmpt 4675  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  0cc0 9883  1c1 9884  2c2 11017  3c3 11018  #chash 13060  Word cword 13233  ⟨“cs3 13527  Basecbs 15784  distcds 15874  TarskiGcstrkg 25236  Itvcitv 25242  LineGclng 25243  pInvGcmir 25454  ∟Gcrag 25495 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-concat 13243  df-s1 13244  df-s2 13533  df-s3 13534  df-rag 25496 This theorem is referenced by:  ragcom  25500  ragcol  25501  ragmir  25502  mirrag  25503  ragtrivb  25504  ragflat2  25505  ragflat  25506  ragcgr  25509  footex  25520  colperpexlem1  25529  colperpexlem3  25531  mideulem2  25533  opphllem  25534  lmiisolem  25595  hypcgrlem1  25598  hypcgrlem2  25599  trgcopyeulem  25604
 Copyright terms: Public domain W3C validator