Theorem isrhm2d 18776

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
4		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5	ringmgp 18599	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
9	8	ringmgp 18599	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10	2, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11	7, 10	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd))
12		isrhmd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	12, 13	ghmf 17711	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
16		isrhmd.ht	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
17	16	ralrimivva 3000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
18		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
19		isrhmd.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20	5, 19	ringidval 18549	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
21	20	fveq2i 6232	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
22		isrhmd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
23	8, 22	ringidval 18549	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
24	18, 21, 23	3eqtr3g 2708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
25	15, 17, 24	3jca 1261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
26	5, 12	mgpbas 18541	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	8, 13	mgpbas 18541	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
28		isrhmd.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	5, 28	mgpplusg 18539	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
30		isrhmd.u	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑆)
31	8, 30	mgpplusg 18539	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
33		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
34	26, 27, 29, 31, 32, 33	ismhm 17384	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
35	11, 25, 34	sylanbrc 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
36	4, 35	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
37	5, 8	isrhm 18769	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
38	3, 36, 37	sylanbrc 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  ._rcmulr 15989  0_gc0g 16147  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380   GrpHom cghm 17704  mulGrpcmgp 18535  1_rcur 18547  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763

This theorem is referenced by:  isrhmd  18777  qusrhm  19285  asclrhm  19390  mulgrhm  19894  rhmopp  29947