Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isringrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isringrng 41668
Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isringrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isringrng (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Proof of Theorem isringrng
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringrng 41666 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2 isringrng.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 isringrng.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
42, 3ringideu 18329 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
5 reurex 3131 . . . 4 (∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
64, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
71, 6jca 552 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
8 rngabl 41664 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
9 ablgrp 17962 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
1110adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Grp)
12 eqid 2604 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1312rngmgp 41665 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp)
1413anim1i 589 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
1512, 2mgpbas 18259 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1612, 3mgpplusg 18257 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1715, 16ismnddef 17060 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
1814, 17sylibr 222 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
19 eqid 2604 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
202, 12, 19, 3isrng 41663 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
2120simp3bi 1070 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
2221adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
232, 12, 19, 3isring 18315 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
2411, 18, 22, 23syl3anbrc 1238 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
257, 24impbii 197 1 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2890  wrex 2891  ∃!wreu 2892  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  .rcmulr 15710  SGrpcsgrp 17047  Mndcmnd 17058  Grpcgrp 17186  Abelcabl 17958  mulGrpcmgp 18253  Ringcrg 18311  Rngcrng 41661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-plusg 15722  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-rng0 41662
This theorem is referenced by:  zlidlring  41715  uzlidlring  41716
  Copyright terms: Public domain W3C validator