Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrrvv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrrvv 30278
 Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isrrvv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
Assertion
Ref Expression
isrrvv (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv
StepHypRef Expression
1 isrrvv.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
21rrvmbfm 30277 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
3 domprobsiga 30246 . . . 4 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
5 brsigarn 30020 . . . 4 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6 elrnsiga 29962 . . . 4 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
75, 6mp1i 13 . . 3 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
84, 7ismbfm 30087 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅) ↔ (𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9 unibrsiga 30022 . . . . . 6 𝔅 = ℝ
109oveq1i 6615 . . . . 5 ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) = (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃)
1110eleq2i 2696 . . . 4 (𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃))
12 reex 9972 . . . . 5 ℝ ∈ V
13 uniexg 6909 . . . . . 6 (dom 𝑃 ran sigAlgebra → dom 𝑃 ∈ V)
144, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑃 ∈ V)
15 elmapg 7816 . . . . 5 ((ℝ ∈ V ∧ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1612, 14, 15sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1711, 16syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1817anbi1d 740 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
192, 8, 183bitrd 294 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912  Vcvv 3191  ∪ cuni 4407  ◡ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080   “ cima 5082  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  ℝcr 9880  sigAlgebracsiga 29943  𝔅ℝcbrsiga 30017  MblFnMcmbfm 30085  Probcprb 30242  rRndVarcrrv 30275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ioo 12118  df-topgen 16020  df-top 20616  df-bases 20617  df-esum 29863  df-siga 29944  df-sigagen 29975  df-brsiga 30018  df-meas 30032  df-mbfm 30086  df-prob 30243  df-rrv 30276 This theorem is referenced by:  rrvvf  30279  rrvfinvima  30285  0rrv  30286  coinfliprv  30317
 Copyright terms: Public domain W3C validator